2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材）第三章　一元函数的导数及其应用 3.2　第2课时　利用导数研究函数的极值、最值

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1.函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个　　　　 ,且f(x)在x0处取　　　值. 　　　　　　与　　　　　　　都称为极值点,　　　　　　与　　　　　　都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小. 一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有　　　　　　.
2.函数的导数与极值一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　,那么此时x0是f(x)的极大值点. (2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　,那么此时x0是f(x)的极小值点. (3)如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为　　　　(或均为　　　　),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
3.函数的最值(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个　　　　　　; (2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是　　　　　　　　　　　　　　　　,要么是　　　　　　.
1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点.
3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)>g(x),即f(x)-g(x)>0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)(2)导数为零的点不一定是极值点.(　　)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(　　)
A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=2
答案 D　解析由f'(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,当x<1时,f'(x)>0;当12时,f'(x)>0.可得函数f(x)的极值点为x=1和x=2.故选D.
3.设函数f(x)=xex,则(　　)A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点
答案 D　解析 f'(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f'(x)=0,则x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,则x=-1为f(x)的极小值点.
4.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　　)A.1-eB.-1C.-eD.0
答案 B　解析因为 ,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以当x=1时,f(x)取得极大值,也为最大值,f(1)=ln 1-1=-1.故选B.
5.(2020河南开封三模,理7,文9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=(　　)A.-2或-6B.2或6C.2D.6
答案 D　解析 f'(x)=(x-c)2+2x(x-c),f'(2)=(2-c)2+2×2(2-c)=0,解得c=6或c=2.验证可知当c=2时,函数在x=2处取极小值,舍去,当c=6时满足题意,故c=6.
【例1】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,
当a<0时,函数g(x)的图象如图2所示,由g(-1)=1>0,可得x1<-1,则当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,因此,当a<0时,函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数有一个极值点;
解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最大(小)值问题的具体步骤:(1)求函数定义域.(2)求导→通分或因式分解或二次求导.(3)对参数分类,分类的层次:①按导函数的类型分大类;②按导函数是否有零点分小类;③在小类中再按导函数零点的大小分小类;④在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.
对点训练1设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(1)当b> 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点.
【例2】已知函数f(x)=ln x-kx+k(k∈R),求f(x)在[1,2]上的最小值.
于是f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln 2-k.(ⅰ)当0解题心得求最大(小)值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最大(小)值.若有唯一的极值点,则其为最值点.
对点训练2(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
解 (1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,设切点为(x0,12- ),则-2x0=-2,即x0=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)显然t≠0,因为y=f(x)在点(t,12-t2)处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),令x=0,
对点训练3(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2))处的切线方程为x-y-2ln 2=0.(1)求m,n的值;(2)当x>0时,若k为整数,且x+1>(k-x)[f(x)+x+1],求k的最大值.
∵x>0,∴h'(x)=ex-1>0.∴函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α),又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3),故①等价于k(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求k的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当k≤0时,ex-kx>0.所以当02时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,等价于f'(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根.(方法1)f'(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根.设h(x)=ex-kx,则h'(x)=ex-k.当k≤1时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,2)上单调递增,此时h(x)在(0,2)上不存在两个不同的实数根.
当k>1时,由h'(x)>0可得x>ln k,由h'(x)<0可得x解题心得1.由于极值点对应的函数的导数值为0,所以对函数进行求导后,先考查导函数的哪一部分的符号不为0,然后把可能为0的部分构造成新的函数进行研究,这样将复杂的问题进行等价转化为简单的问题是解决已知函数极值情况求参数的取值范围的常用方法.2.f'(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.
当x>2时,G'(x)>0,函数G(x)在(2,+∞)上单调递增,G(2)=3-ln 2>0,所以在(2,+∞)上,G(x)>0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+1>0,所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,则a>2.故实数a的取值范围为(2,+∞).
【例5】 (2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO'的距离a(单位:米)之间满足关系式h1= a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO'的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价 k(单位:万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
(2)以O为原点,MN为x轴,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米; (2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
对点训练5(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为　　　cm.