2027届高三数学(人教A版)一轮复习课件：第3章　第4节　利用导数研究不等式恒(能)成立问题(含解析)

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课标解读　恒(能)成立问题是高考数学中的重点和难点,常以解答题的形式出现,难度中高档.此类问题综合考查导数及其几何意义、函数性质与方程思想的交汇运用,要求考生具备较强的分析、转化与解决问题的能力.
考点一　分离参数法解决不等式恒(能)成立问题
规律方法　“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立;(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离,可以将λ单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M)时,g(λ)≥M.
考点二　最值法解决不等式恒(能)成立问题
例2　(2025·浙江精诚联盟三模)已知函数f(x)=ex-cs x-(2a+2)x.(1)当a=0时,求函数f(x)的极值点个数;(2)若对∀x≥0,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)由f(x)的定义域为R,当a=0时,f(x)=ex-cs x-2x,f'(x)=ex+sin x-2,当x≤0时,ex≤1,-1≤sin x≤1,又f'(0)=-1,所以f'(x)0时,令g(x)=ex+sin x-2,则g'(x)=ex+cs x.因为ex>1,-1≤cs x≤1,所以g'(x)>0,故g(x)(即f'(x))在(0,+∞)内单调递增,又f'(0)=-10,f(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以f(x)在x=x0处取得极小值.综上,当a=0时,f(x)有1个极小值点,无极大值点.
规律方法　最值法解决不等式恒(能)成立问题在不等式恒(能)成立问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立⇔g(a)≥0.(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)