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2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--4.3 利用导数研究函数的极值与最值（课件）
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这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--4.3 利用导数研究函数的极值与最值（课件），共42页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，fx0，连续不断，fafb，最大值，最小值，答案1，答案A等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.函数的极值
函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
提示 必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.
2.函数的最值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
函数最值反映的是函数整体的性质
微点拨函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.
常用结论1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.4.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)导数为0的点一定是极值点.( )(2)在定义域上的单调函数一定没有极值.( )(3)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点.( )(4)函数的最值有可能在极值点处取得.( )
2.函数f(x)=-2x3+3x2+1的极小值与极大值分别等于( )A.0,1B.-1,0C.-2,-1D.1,2
答案 D 解析 f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时f'(x)<0,当x∈(0,1)时f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时f'(x)<0,所以当x=0时函数取极小值f(0)=1,当x=1时函数取极大值f(1)=2.
3.函数f(x)=x3-ax2-ax+b在R上不存在极值,则实数a的取值范围是 .
答案 [-3,0] 解析 f'(x)=3x2-2ax-a,由于函数f(x)在R上不存在极值,所以Δ=(-2a)2+12a≤0,解得-3≤a≤0.故实数a的取值范围是[-3,0].
考向1.求函数的极值(点)典例突破例1.(2021安徽师大附中高三月考)函数f(x)= x2-2ln x+x的极值点是 .
方法总结求函数极值(点)的一般步骤
对点训练1(2021江苏泰州高三期中)若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
考向2.已知极值(点)求参数的值或范围典例突破例2.(1)(2021全国乙,理10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.abC.aba2(2)(2021广东佛山高三月考)若函数f(x)= x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 .
方法点拨根据函数极值情况求参数的值或取值范围的方法(1)如果一个函数是可导函数,那么在其极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.(2)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号的零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.
对点训练2(2021山东泰安高三月考)已知函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1]
解析 函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值⇔f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点⇔Δ=4m2-4m≤0⇔0≤m≤1,故选D.
考向3.与极值有关的综合问题典例突破例3.(2021河北石家庄二模)已知函数f(x)=ln x+ x2,m∈R.(1)若m>0,函数f(x)图象上所有点处的切线中,切线斜率的最小值为2,求切线斜率取得最小值时的切线方程;(2)若F(x)=f(x)-mx有两个极值点,且所有极值的和不小于- -3,求实数m的取值范围.
名师点析求解极值综合问题的技巧(1)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解.(2)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或取值范围时,往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
对点训练3(2021江西临川高三期中)已知函数f(x)=ax-x2-ln x(a∈R).若函数f(x)在定义域上单调,求实数a的取值范围.
考向1.求函数的最值典例突破
(2)(2021新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 (1)B (2)1
方法点拨求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.
对点训练4(2021江苏镇江高三期中)已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+ln x,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为( )A.-ln 2B.ln 2C.2D.-2
解析 令t=f(m)=g(n),则em-3=t,1+ln n=t,所以m=3+ln t,n=et-1,即n-m=et-1-3-ln t,若h(t)=et-1-3-ln t,则h'(t)=et-1- (t>0),令h'(t)=0,得t=1.当01时,h'(t)>0,h(t)单调递增;所以h(t)min=h(1)=e0-3-ln 1=-2,即n-m的最小值为-2,故选D.
考向2.已知最值求参数典例突破
名师点析已知函数最值求参数的方法(1)已知函数在闭区间上的最值时,可根据函数最值的求法将极值与端点处的函数值进行比较,从而用参数将最值表示出来,然后通过解方程求得参数的值,必要时需要进行分类讨论.(2)已知函数在开区间或无穷区间上有最值时,可先分析求得函数的极值,然后结合函数图象确定参数应满足的条件,用不等式(组)表示,解不等式(组)即得参数的取值范围.
对点训练5(2021江苏扬州高三月考)若函数f(x)=x2ex在(a-1,5+a)上有最小值,则实数a的取值范围是 .
答案 (-5,1) 解析 由于f(x)=x2ex,所以f'(x)=ex(x2+2x),令f'(x)=0得x=-2或0.当x∈(-∞,-2)时f'(x)>0;当x∈(-2,0)时f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时f'(x)>0.因此函数的大致图象如图所示:由于函数在(a-1,5+a)上有最小值,所以a-1<0<5+a,解得-5
名师点析利用导数解决优化问题的方法在解决三角函数、几何图形的面积、几何体的体积以及实际生活中优化问题的最值问题时,一般是设出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后借助导数求出函数的最大值或最小值,从而得到问题的解,特别要注意函数中自变量的实际意义对问题结果的影响.
知识梳理1.函数的极值
函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
提示 必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.
2.函数的最值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
函数最值反映的是函数整体的性质
微点拨函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.
常用结论1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.4.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)导数为0的点一定是极值点.( )(2)在定义域上的单调函数一定没有极值.( )(3)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点.( )(4)函数的最值有可能在极值点处取得.( )
2.函数f(x)=-2x3+3x2+1的极小值与极大值分别等于( )A.0,1B.-1,0C.-2,-1D.1,2
答案 D 解析 f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时f'(x)<0,当x∈(0,1)时f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时f'(x)<0,所以当x=0时函数取极小值f(0)=1,当x=1时函数取极大值f(1)=2.
3.函数f(x)=x3-ax2-ax+b在R上不存在极值,则实数a的取值范围是 .
答案 [-3,0] 解析 f'(x)=3x2-2ax-a,由于函数f(x)在R上不存在极值,所以Δ=(-2a)2+12a≤0,解得-3≤a≤0.故实数a的取值范围是[-3,0].
考向1.求函数的极值(点)典例突破例1.(2021安徽师大附中高三月考)函数f(x)= x2-2ln x+x的极值点是 .
方法总结求函数极值(点)的一般步骤
对点训练1(2021江苏泰州高三期中)若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
考向2.已知极值(点)求参数的值或范围典例突破例2.(1)(2021全国乙,理10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a
方法点拨根据函数极值情况求参数的值或取值范围的方法(1)如果一个函数是可导函数,那么在其极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.(2)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号的零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.
对点训练2(2021山东泰安高三月考)已知函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1]
解析 函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值⇔f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点⇔Δ=4m2-4m≤0⇔0≤m≤1,故选D.
考向3.与极值有关的综合问题典例突破例3.(2021河北石家庄二模)已知函数f(x)=ln x+ x2,m∈R.(1)若m>0,函数f(x)图象上所有点处的切线中,切线斜率的最小值为2,求切线斜率取得最小值时的切线方程;(2)若F(x)=f(x)-mx有两个极值点,且所有极值的和不小于- -3,求实数m的取值范围.
名师点析求解极值综合问题的技巧(1)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解.(2)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或取值范围时,往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
对点训练3(2021江西临川高三期中)已知函数f(x)=ax-x2-ln x(a∈R).若函数f(x)在定义域上单调,求实数a的取值范围.
考向1.求函数的最值典例突破
(2)(2021新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 (1)B (2)1
方法点拨求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.
对点训练4(2021江苏镇江高三期中)已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+ln x,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为( )A.-ln 2B.ln 2C.2D.-2
解析 令t=f(m)=g(n),则em-3=t,1+ln n=t,所以m=3+ln t,n=et-1,即n-m=et-1-3-ln t,若h(t)=et-1-3-ln t,则h'(t)=et-1- (t>0),令h'(t)=0,得t=1.当0
考向2.已知最值求参数典例突破
名师点析已知函数最值求参数的方法(1)已知函数在闭区间上的最值时,可根据函数最值的求法将极值与端点处的函数值进行比较,从而用参数将最值表示出来,然后通过解方程求得参数的值,必要时需要进行分类讨论.(2)已知函数在开区间或无穷区间上有最值时,可先分析求得函数的极值,然后结合函数图象确定参数应满足的条件,用不等式(组)表示,解不等式(组)即得参数的取值范围.
对点训练5(2021江苏扬州高三月考)若函数f(x)=x2ex在(a-1,5+a)上有最小值,则实数a的取值范围是 .
答案 (-5,1) 解析 由于f(x)=x2ex,所以f'(x)=ex(x2+2x),令f'(x)=0得x=-2或0.当x∈(-∞,-2)时f'(x)>0;当x∈(-2,0)时f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时f'(x)>0.因此函数的大致图象如图所示:由于函数在(a-1,5+a)上有最小值,所以a-1<0<5+a,解得-5
名师点析利用导数解决优化问题的方法在解决三角函数、几何图形的面积、几何体的体积以及实际生活中优化问题的最值问题时,一般是设出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后借助导数求出函数的最大值或最小值,从而得到问题的解,特别要注意函数中自变量的实际意义对问题结果的影响.
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