第26讲 三角恒等变换 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】

这是一份第26讲 三角恒等变换 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】，共7页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232923205 \h 4
考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 PAGEREF _Tc232923206 \h 4
考点二：给角求值 PAGEREF _Tc232923207 \h 6
考点三：给值求值与角的变换 PAGEREF _Tc232923208 \h 7
考点四：给值求角 PAGEREF _Tc232923209 \h 9
考点五：正切恒等式及求非特殊角 PAGEREF _Tc232923210 \h 10
考点六：三角恒等变换的综合应用 PAGEREF _Tc232923211 \h 11
四、高考真题 PAGEREF _Tc232923212 \h 13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对三角恒等变换的考查较为稳定，既有直接考查公式变形的客观题，也有将其作为核心工具融入解三角形、导数与不等式等解答题中的间接考查，整体呈现出基础与综合并重的特点.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查两角和与差的正余弦公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系.
（2） 命题趋势：单纯考查三角恒等变换的客观题依然存在，但更多地是作为一种核心工具，与解三角形、三角函数性质、导数与不等式等知识深度融合，在解答题中进行综合考查.
（3） 试题特点：对公式的熟练度要求极高，不仅要求正用，还强调逆用和变形应用（如切化弦、降幂扩角等），在复杂代数变形中考验学生的运算求解能力.
3. 备考策略
（1） 熟练记忆并掌握两角和差公式、二倍角公式及辅助角公式，深刻理解公式间的内在联系，做到正用、逆用、变形用自如.
（2） 强化“凑角”与“化归”思想的训练，在面对复杂三角式时，能敏锐捕捉角度之间的和差倍半关系，灵活运用“切化弦”“升幂降角”等技巧.
（3） 注重三角恒等变换与解三角形、导数等板块的交汇训练，提升在综合问题中准确、快速进行三角代数变形的能力.
二、知识清单
1. 两角和与差的正余弦与正切
（1） sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ.
（2） cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ.
（3） tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.
2. 二倍角公式
（1） sin2α=2sinαcsα.
（2） cs2α=cs2α−sin2α=2cs2α−1=1−2sin2α.
（3） tan2α=2tanα1−tan2α.
3. 降次（幂）公式
（1） sinαcsα=12sin2α.
（2） sin2α=1−cs2α2.
（3） cs2α=1+cs2α2.
4. 半角公式
（1） sinα2=±1−csα2.
（2） csα2=±1+csα2.
（3） tanα2=sinα1+csα=1−csαsinα.
5. 辅助角公式
asinα+bcsα=a2+b2sin(α+ϕ)（其中 sinϕ=ba2+b2，csϕ=aa2+b2，tanϕ=ba）.
6. 两角和与差正切公式变形
（1） tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).
（2） tanα⋅tanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)=tanα−tanβtan(α−β)−1.
7. 降幂公式与升幂公式
（1） sin2α=1−cs2α2；cs2α=1+cs2α2；sinαcsα=12sin2α.
（2） 1+cs2α=2cs2α；1−cs2α=2sin2α；1+sin2α=(sinα+csα)2；1−sin2α=(sinα−csα)2.
8. 其他常用变式
（1） sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanα1+tan2α.
（2） cs2α=cs2α−sin2αsin2α+cs2α=1−tan2α1+tan2α.
（3） tanα2=sinα1+csα=1−csαsinα.
9. 万能公式
（1） sinα=2tanα21+tan2α2.
（2） csα=1−tan2α21+tan2α2.
（3） tanα=2tanα21−tan2α2.
10. 三倍角公式
（1） sin3α=3sinα−4sin3α.
（2） cs3α=4cs3α−3csα.
（3） tan3α=3tanα−tan3α1−3tan2α.
11. 积化和差与和差化积公式
（1） 积化和差：
① sinαcsβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)].
② csαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)].
③ csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)].
④ sinαsinβ=−12[cs(α+β)−cs(α−β)].
（2） 和差化积：
① sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2.
② sinα−sinβ=2csα+β2sinα−β2.
③ csα+csβ=2csα+β2csα−β2.
④ csα−csβ=−2sinα+β2sinα−β2.
【易错提醒】
1. 在使用半角公式 sinα2=±1−csα2 和 csα2=±1+csα2 时，根号前的正负号由角 α2 所在的象限决定，切忌盲目取正或漏掉符号讨论.
2. 在使用两角和与差的正切公式 tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ 时，必须保证 α、β 以及 α±β 都不等于 kπ+π2（k∈Z）.若存在等于 kπ+π2 的情况，需改用诱导公式或化切为弦处理.
3. 在使用辅助角公式 asinα+bcsα=a2+b2sin(α+ϕ) 时，辅助角 ϕ 的终边所在象限必须由点 (a,b) 的坐标符号唯一确定，即满足 csϕ=aa2+b2 且 sinϕ=ba2+b2，不可仅凭 tanϕ=ba 草率判断.
三、典题精讲
考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形
考法1：利用和差角与倍角公式展开化简
例1.（2026·沧州十二校·一模）（多选）已知csαcsβ=14,cs(α+β)=13，则（ ）
A. sinαsinβ=112 B. cs(α−β)=16
C. tanαtanβ=−13 D. sin2αsin2β=112
【答案】BC
【思路】已知两角和的余弦值与两角余弦的乘积，观察选项涉及正弦乘积、两角差的余弦、正切乘积以及二倍角的正弦乘积.切入点在于利用两角和的余弦公式展开已知条件，分离出正弦的乘积，从而为后续逐项判断提供基础数据.
【解析】∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=13，且csαcsβ=14，∴sinαsinβ=−112，故A错误.∵cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=14−112=16，故B正确.∵tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=−11214=−13，故C正确.∵sin2αsin2β=2sinαcsα⋅2sinβcsβ=4sinαsinβcsαcsβ=4×−112×14=−112，故D错误.
【规律】处理涉及两角和差及乘积的综合判断题，核心在于“知二求一”：利用和差角公式将未知量（如正弦乘积）解出.在求正切乘积或二倍角乘积时，统一转化为正弦与余弦的乘积形式进行代入计算，可有效避免复杂的角变换.
考法2：逆用和差角公式与辅助角公式
例2.（2026·皖江名校·模考）已知cs(α−β)=sin(α+β)，且tanαtanβ=12，则tan(α+β)=（ ）
A. 3 B. 13 C. −13 D. −3
【答案】A
【思路】已知条件包含正余弦的和差关系以及正切的乘积，目标是求两角和的正切.突破口在于将第一个等式利用两角和差的公式展开，并转化为正切的关系式，再结合已知的正切乘积，整体构造出两角和正切公式的分子部分.
【解析】由题意得csαcsβ+sinαsinβ=sinαcsβ+csαsinβ，即1+tanαtanβ=tanα+tanβ，故tanα+tanβ=32，从而tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3.
【规律】遇到正弦与余弦的混合等式且目标为正切时，“切化弦”或“弦化切”是常规手段.若等式两端均为一次齐次式，直接同除以余弦的乘积即可快速转化为正切的代数方程，进而利用整体代换求出目标式.
考法3：公式的变形与综合应用
例3.（2026·德州·二模）已知sin(50∘+θ)+sin(50∘−θ)+sin(10∘+θ)=0，则tanθ=（ ）
A. 33 B. −33 C. 3 D. −3
【答案】D
【思路】已知等式包含三个不同角的正弦值，且角度之间存在明显的数值联系（50度、10度）.解题关键是利用两角和差的正弦公式将50度拆分为60度减10度，从而提取公因式，将复杂的三角和式转化为关于目标角θ的简单方程.
【解析】由sin(50∘+θ)+sin(50∘−θ)+sin(10∘+θ)=0，得sin50∘csθ+cs50∘sinθ+sin50∘csθ−cs50∘sinθ+sin10∘csθ+cs10∘sinθ=0，即2sin50∘csθ+sin10∘csθ+cs10∘sinθ=0，即2sin(60∘−10∘)csθ+sin10∘csθ+cs10∘sinθ=0，即2(sin60∘cs10∘−cs60∘sin10∘)csθ+sin10∘csθ+cs10∘sinθ=0，即3cs10∘csθ−sin10∘csθ+sin10∘csθ+cs10∘sinθ=0，即3cs10∘csθ+cs10∘sinθ=0，∵cs10∘≠0，∴3csθ+sinθ=0，若csθ=0，则sinθ=0，不符合题意，∴csθ≠0，∴tanθ=−3.
【规律】处理多项三角函数求和为零的问题，通常需要寻找角度之间的特殊关系（如互余、互补或差为特殊角）.通过展开并合并同类项，最终化简为Asinθ+Bcsθ=0的形式，进而求出正切值.
【考点一 方法总结】
1. 处理涉及两角和差及乘积的综合判断题，核心在于“知二求一”：利用和差角公式将未知量（如正弦乘积）解出.在求正切乘积或二倍角乘积时，统一转化为正弦与余弦的乘积形式进行代入计算.
2. 遇到正弦与余弦的混合等式且目标为正切时，若等式两端均为一次齐次式，直接同除以余弦的乘积即可快速转化为正切的代数方程，进而利用整体代换求出目标式.
3. 处理多项三角函数求和为零的问题，通常需要寻找角度之间的特殊关系（如互余、互补或差为特殊角）.通过展开并合并同类项，最终化简为Asinθ+Bcsθ=0的形式，进而求出正切值.
考点二：给角求值
考法4：非特殊角的化简求值
例4.式子2sin18∘(3cs29∘−sin29∘−cs29∘−sin29∘)cs6∘+3sin6∘化简的结果为（ ）
A. 12 B. 1 C. 2sin9∘ D. 2
【答案】B
【思路】待化简式子中包含9度、18度、6度等非特殊角，分子中存在平方差的形式.切入点是利用二倍角余弦公式将9度的平方差降幂转化为18度，分母则可通过提取常数构造辅助角公式，将其转化为特殊角与6度的和角正弦.
【解析】原式=2sin18∘(3cs29∘−sin29∘−cs29∘−sin29∘)2sin(6∘+30∘)=2sin18∘(2cs29∘−2sin29∘)2sin36∘=2sin18∘cs18∘sin36∘=sin36∘sin36∘=1.
【规律】非特殊角的化简求值题，核心思想是“消角”.常见手段包括：利用二倍角公式升角或降角、利用辅助角公式合并同名函数、利用诱导公式统一角度.最终目标是使分子分母出现相同的项以实现约分.
考法5：切化弦与弦化切技巧求值
例5.若λsin160∘+tan20∘=3，则实数λ的值为（ ）
A. 4 B. 43 C. 23 D. 433
【答案】A
【思路】已知等式中同时含有正弦和正切，且角度分别为160度和20度.首先需利用诱导公式将160度转化为20度统一角度，然后将正切化为正弦与余弦的比值，通分后观察分子结构，逆用两角差的正弦公式进行化简，从而解出参数.
【解析】由已知可得λ=3−tan20∘sin(180∘−20∘)=3cs20∘−sin20∘sin20∘cs20∘=2(sin60∘cs20∘−cs60∘sin20∘)12sin40∘=4sin40∘sin40∘=4.
【规律】在三角恒等变换中，“切化弦”是处理正切与正余弦混合式的首选策略.通分后，分子常会出现asinx+bcsx的形式，此时提取a2+b2逆用和差角公式是化简的标准化流程.
【考点二 方法总结】
1. 非特殊角的化简求值题，核心思想是“消角”.常见手段包括：利用二倍角公式升角或降角、利用辅助角公式合并同名函数、利用诱导公式统一角度.最终目标是使分子分母出现相同的项以实现约分.
2. 在三角恒等变换中，“切化弦”是处理正切与正余弦混合式的首选策略.通分后，分子常会出现asinx+bcsx的形式，此时提取a2+b2逆用和差角公式是化简的标准化流程.
考点三：给值求值与角的变换
考法6：利用同角关系与诱导公式求值
例6.（2026·临泉田家炳·二模）若sinα−csα=15,α∈(π,2π)，则tanα=（ ）
A. 34 B. −34 C. −43 D. 43
【答案】A
【思路】已知正弦与余弦的差值，要求正切值.突破口是将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系求出正弦与余弦的乘积.结合角所在的象限判断正余弦的符号，进而求出正弦与余弦的和，最后联立方程组解出具体的正余弦值.
【解析】由sinα−csα=15，则(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=125，∴2sinαcsα=2425>0，又∵α∈(π,2π)，∴sinα