第24讲 导数同构 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】

这是一份第24讲 导数同构 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】，共7页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。
考点一：同构变形与解方程、求值
考法1：构造同构解方程或求值
1.（2026·安徽A10联盟·5月模拟）已知正实数x,y满足ln(2x)+lny=x+2y−2，则xy−yx=
A. 24 B. 12 C. 22 D. 1
【答案】B
【解析】由题意得，x>0,y>0，ln(2x)+lny=ln(2xy)=lnx+ln(2y)，则ln(2x)+lny=x+2y−2等价于lnx+ln(2y)=x−1+2y−1.设f(t)=t−1−lnt，则f'(t)=t−1t，则f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(t)≥f（1）=0，即t−1≥lnt，当且仅当t=1时等号成立.由t−1≥lnt得x−1≥lnx，2y−1≥ln(2y)，则lnx+ln(2y)≤x−1+2y−1，又lnx+ln(2y)=x−1+2y−1，所以x=1，2y=1即y=12，则xy−yx=1−12=12.
【点拨】本题考查利用同构思想解方程，通过构造函数并利用其最值性质是解题关键.
2.设x,y∈R，满足(x−1)5+2x+sin(x−1)=3(y−1)5+2y+sin(y−1)=1，则x+y=
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】(x−1)5+2x+sin(x−1)=3(y−1)5+2y+sin(y−1)=1可化为：(x−1)5+2(x−1)+sin(x−1)=1(y−1)5+2(y−1)+sin(y−1)=−1.记f(x)=x5+2x+sinx，定义域为R.因为f'(x)=5x4+2+csx>0，所以f(x)在R上单调递增.又f(−x)=(−x)5+2×(−x)+sin(−x)=−(x5+2x+sinx)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.所以由f(x−1)=1f(y−1)=−1可得：x−1+y−1=0，所以x+y=2.
【点拨】本题考查同构方程组的求解，通过构造奇函数并利用其单调性得出变量间的关系.
3.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea−2=e4和关于b的方程b(lnb−2)=e3λ−1(a,b∈R+)可化为同构方程，则ab的值为
A. e8 B. e C. ln6 D. 1
【答案】A
【解析】对aea−2=e4两边取自然对数，得lna+a=6①，对b(lnb−2)=e3λ−1两边取自然对数，得lnb+ln(lnb−2)=3λ−1，即lnb−2+ln(lnb−2)=3λ−3②，因为方程①②为两个同构方程，所以3λ−3=6，解得λ=3，设F(x)=lnx+x，x>0，则F'(x)=1x+1>0，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增，所以方程F(x)=6的解只有一个，所以a=lnb−2，所以ab=(lnb−2)b=b(lnb−2)=e3×3−1=e8.
【点拨】本题考查同构方程的识别与求解，通过两边取对数构造出形式相同的方程，结合函数的单调性确定变量关系.
4.（2026·山东济宁·三模）已知实数x,y满足yx−1+(x−1)(lny−1)=ln(x−1)，则y的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(0,e1e]
【解析】由题意，方程为yx−1+(x−1)(lny−1)=ln(x−1).因为存在ln(x−1)和lny，所以x−1>0即x>1，且y>0.原方程变形为：yx−1+(x−1)lny−(x−1)=ln(x−1).两边同除以x−1，得：yx−1x−1+lny−1=ln(x−1)x−1.即e(x−1)lnyx−1+lny−1=ln(x−1)x−1.注意到e(x−1)lnyx−1=e(x−1)lnyeln(x−1)=e(x−1)lny−ln(x−1).令t=(x−1)lny−ln(x−1)，则方程变为et+lny−1=ln(x−1)x−1.此变形不直观，重新变形：yx−1+(x−1)lny=ln(x−1)+(x−1).两边同除以x−1，得yx−1x−1+lny=ln(x−1)x−1+1.即e(x−1)lny−ln(x−1)+lny=ln(x−1)x−1+1.设u=lny，v=ln(x−1)x−1.则e(x−1)u−ln(x−1)+u=v+1.注意到(x−1)u−ln(x−1)=(x−1)(lny−ln(x−1)x−1)=(x−1)(u−v).所以e(x−1)(u−v)+u−v=1.令w=u−v，则e(x−1)w+w=1.因为x−1>0，设f(w)=e(x−1)w+w，则f'(w)=(x−1)e(x−1)w+1>0，f(w)单调递增.又f（0）=e0+0=1，所以w=0是唯一解.即u−v=0，u=v.所以lny=ln(x−1)x−1.令g(t)=lntt(t=x−1>0).g'(t)=1−lntt2.当00时，当x>1时，f'(x)0,f(x)单调递增，当x0时，当x>e时，g'(x)0,g(x)单调递增，当00，令f'(x)=0，得x=1.当00，t=axex单调递增；当x∈(1,+∞)时，t'0)，则g'(t)=1−2t=t−2t，当t∈(0,2)时，g'(t)0，得t>1，所以y=ett在(−∞,0)，(0,1)递减，在(1,+∞)递增，所以，当t0时，a≤ex+lnxx+lnx+1，由于ex+lnxx+lnx+1≥x+lnx+1x+lnx+1=1，当且仅当x+lnx=0等号成立，所以a≤1.
（3）f(x)≥0⇔xex+e≥a(x+lnx+1)≥0⇔ex+lnx+e≥a(x+lnx+1)，当x+lnx+1≤0时，原不等式恒成立；当x+lnx+1>0时，a≤ex+lnx+ex+lnx+1，由（1）中可得ex≥ex，当x=1时，等号成立，所以ex+lnx+ex+lnx+1≥e(x+lnx)+ex+lnx+1=e，当且仅当x+lnx=1等号成立，所以a≤e.
（4）xex−a(x+1)≥lnx⇔a≤xex−lnxx+1，由于xex−lnxx+1=ex+lnx−lnxx+1≥x+lnx+1−lnxx+1=1，所以a≤1.
（5）f(x)≥0⇔xbex≥alnx+x+1⇔ex+blnx−x−1≥alnx⇔a≤ex+blnx−x−1lnx.由于ex+blnx−x−1lnx≥x+blnx+1−x−1lnx=b，当且仅当x+blnx=0等号成立，所以a≤b.
（6）aex−lnx−1≥0⇔a≥lnx+1ex，由于lnx+1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x=1等号成立，则lnx+1ex≤xex=1e，所以a≥1e.
（7）ae2x−ln2x−1≥0⇔a≥ln2x+1e2x，由于ln2x+1≤2x，e2x≥e⋅2x，两者都是当且仅当x=12等号成立，则ln2x+1e2x≤2x2ex=1e，所以a≥1e.
（8）ex−1≥kx+lnx⇔k≤ex−x−lnexx，由于lnx+1≤x，e2x≥e⋅2x，两者都是当且仅当x=1等号成立，所以exx≥e，lnexx≤1，则exx−lnexx≥e−1，所以k≤e−1.
（9）ax+xe−ax−lnx−1=e−ax+lnx+ax−lnx−1≥−ax+lnx+1+ax−lnx−1=0，当且仅当−ax+lnx=0，即a=lnxx时等号成立.由a=lnxx有解，y=lnxx，y'=1−lnxx2，易知y=lnxx在(0,e)上递增，在(e,+∞)递减，y≤y|x=e=1e，所以a≤1e.
【点拨】本题考查指对数混合同构求参数范围，通过构造同构式将不等式转化为基本不等式或利用导数求最值.
考法7：其他类型同构求参数范围
19.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数f(x)=ex，g(x)=lnxx（e为自然对数的底数，e≈2.71828⋯）
（1） 证明：当x∈(−2,0)时，f(x)0，故f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)递增，当x0，没有零点；当x>0时，f(x)单调递增，f(14)=e−40，由函数零点存在定理得f(x)在区间(14,1)内有唯一零点，综上可得，函数f(x)只有一个零点.
（2）法一：要证xe2x−lnx−2x−1x+1>0，即证xe2x−lnx−2x>1x+1，令g(x)=xe2x−lnx−2x，定义域为(0,+∞)，则g'(x)=(2x+1)e2x−2x+1x=(2x+1)(e2x−1x)=(2x+1)f(x)，由（1）知，f(x)在区间(14,1)内有唯一零点，设其为x0，则e2x0−1x0=0①，因2x+1>0，且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，所以当x∈(0,x0)时，f(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)min=g(x0)=x0e2x0−lnx0−2x0，由式①可得e2x0=1x0，lnx0=−2x0，所以g(x)min=x0⋅1x0+2x0−2x0=1，又x>0时，1x+11x+1，得证.
法二：问题转化为证明e2x+lnx−(2x+lnx)>1x+1，令g(x)=ex−x，易知g(x)≥1，(当且仅当x=0时“=”成立)又x>0，则1x+11x+1(当且仅当2x+lnx=0时“=”成立).
【点拨】本题考查利用同构证明不等式，通过构造函数并利用其单调性与极值点将不等式转化为函数的最值问题.
考法9：利用同构处理极值点偏移问题
22.（2026·广东梅州·一模）已知函数f(x)=1x−alnx−x，g(x)=xlnx−x+1.
（1）若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；
（2）若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ii）若f(x1)=g(x2)，证明：x1⋅x2≤1.
【答案】（1）a≥−2
（2）（i）a=−2
（ii）见解析
【解析】（1）f'(x)=−1x2−ax−1，因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即−1x2−ax−1≤0在(0,+∞)上恒成立，即a≥−1x−x在(0,+∞)上恒成立，因为x>0，所以−1x−x≤−2，当且仅当x=1时取等号，所以a≥−2.
（2）（i）因为g'(x)=lnx，所以g'（1）=0，又f'（1）=−2−a，由题意可得f'（1）=g'（1），即−2−a=0，解得a=−2，此时f（1）=0，g（1）=0，符合题意.
（ii）由（i）知，f(x)=1x+2lnx−x，f'(x)=−1x2+2x−1=−(x−1)2x2≤0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，又g'(x)=lnx，当x∈(0,1)时，g'(x)0，即f(x)在(0,a)为增函数；当x∈(a,+∞)时，f'(x)0，f(x1)−f(x2)0且x≠1e)，g'(x)=lnx(lnx+1)2.当x∈(0,1e)∪(1e,1)时，g'(x)0，即曲线上除切点外的点都在直线l的上方.
【点拨】本题考查利用同构处理极值点偏移问题，通过构造函数并利用其单调性将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题.1
2
3
4
5
B
B
A
(0,e1e]
A
6
7
8
9
10
B
A
D
A
e4
11
12
13
14
15
1e
C
（1）a=1,b=1e （2）见解析
（1）a=1,b=e （2）见解析
B
16
17
18
19
20
D
(0,e]
（1）0≤a≤e （2）0