第24讲 导数同构 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【练习卷+解析卷】

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三、典题精讲 PAGEREF _Tc232892252 \h 4
考点一：同构变形与解方程、求值 PAGEREF _Tc232892253 \h 4
考点二：利用同构比较大小与求最值 PAGEREF _Tc232892254 \h 5
考点三：利用同构研究零点与交点问题 PAGEREF _Tc232892255 \h 7
考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc232892256 \h 9
考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 PAGEREF _Tc232892257 \h 11
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查导数同构相关知识点.备考时建议将本讲作为应对复杂指对数混合方程与不等式的高阶方法储备，重点掌握常见的同构构造模式（如xex、exx、x+lnx等）与基本题型即可，无需在极端复杂的同构变形上过多投入精力.
二、知识清单
1. 常见的同构函数图像
2. 同构式的基本概念与导数压轴题
（1） 同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.
（2） 同构式的应用：
① 在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.
② 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.同构小套路：指对各一边，参数是关键；常用“母函数”：f(x)=x⋅ex，f(x)=ex±x；寻找“亲戚函数”是关键；信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.
③ 在解析几何中的应用：如果A(x1,y1)，B(x2,y2)满足的方程为同构式，则A,B为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程.
④ 在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(an,n)与(an−1,n−1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解.
（3） 常见的指数放缩：ex≥x+1(x=0)；ex≥ex(x=1).
（4） 常见的对数放缩：1−1x≤lnx≤x−1(x=1)；lnx≤xe(x=e).
（5） 常见三角函数的放缩：x∈(0,π2)，sinx0时，有algax=x.
② 当a>0且a≠1时，有lgaax=x.
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中x>0）：
③ xex=ex+lnx；x+lnx=ln(xex).
④ exx=ex−lnx；x−lnx=lnexx.
⑤ x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=ln(x2ex).
⑥ exx2=ex−2lnx.
再结合常用的切线不等式lnx≤x−1，lnx≤xe，ex≥x+1，ex≥ex等，可以得到更多的结论，这里仅以第③条为例进行引申：
⑦ xex=ex+lnx≥x+lnx+1；x+lnx=ln(xex)≤xex−1.
⑧ xex=ex+lnx≥e(x+lnx)；x+lnx=ln(xex)≤xexe=xex−1.
（7） 同构式问题中通常构造亲戚函数xex与xlnx，常见模型有：
① ax>lgax⇒exlna>lnxlna⇒xlna⋅exlna>lnx⋅elnx⇒xlna>lnx⇒a>e1e.
② eλx>lnxλ⇒λeλx>lnx⇒λx⋅eλx>lnx⋅elnx⇒λx>lnx⇒λ>1e.
③ eax+ax>ln(x+1)+x+1=eln(x+1)+ln(x+1)⇒ax>ln(x+1).
（8） 乘法同构、加法同构
① 乘法同构，即乘x同构，如lna⋅exlna>lnx⇔xlna⋅exlna>lnx⋅elnx.
② 加法同构，即加x同构，如ax>lgax⇔ax+x>lgax+x=algax+lgax.
③ 两种构法的区别：乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xex与xlnx易实现，但构造的函数xex与xlnx均不是单调函数；加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.
（9） 积、商、和差型同构的代数特征
① 和差型：代数式中呈现加减关系，常构造母函数f(x)=ex±x或f(x)=x±lnx.
② 积型：代数式中呈现乘法关系，如aeb=bea，常通过两边同取自然对数转化为和差型lna+b=lnb+a，进而构造母函数f(x)=x−lnx；或直接构造母函数f(x)=xex与f(x)=xlnx.
③ 商型：代数式中呈现除法关系，如eaa=ebb，常构造母函数f(x)=exx或f(x)=lnxx.
（10） 同构与极值点偏移的横向联系
在处理双变量问题（如f(x1)=f(x2)）时，同构常与极值点偏移结合.通过同构变形将双变量转化为同一函数的两个自变量，再利用对称构造（如F(x)=f(x)−f(2x0−x)）研究自变量之和或之积的范围.
三、典题精讲
考点一：同构变形与解方程、求值
考法1：构造同构解方程或求值
例1.（2026·安徽A10·五模）已知正实数x,y满足ln(2x)+lny=x+2y−2，则xy−yx=
A. 24 B. 12 C. 22 D. 1
【答案】B
【思路】观察已知等式，含有对数与一次项的混合形式.将等式左边合并为ln(2xy)，并尝试拆分为与x和2y相关的两部分，即lnx+ln(2y).将等式右边也凑成x−1与2y−1的形式，从而构造出形如t−1−lnt的函数，利用该函数的最值性质即可求出x和y的值.
【解析】由题意得，x>0,y>0，ln(2x)+lny=ln(2xy)=lnx+ln(2y)，则ln(2x)+lny=x+2y−2等价于lnx+ln(2y)=x−1+2y−1.设f(t)=t−1−lnt，则f'(t)=t−1t，则f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴f(t)≥f（1）=0，即t−1≥lnt，当且仅当t=1时等号成立.由t−1≥lnt得x−1≥lnx，2y−1≥ln(2y)，则lnx+ln(2y)≤x−1+2y−1，又lnx+ln(2y)=x−1+2y−1，∴x=1，2y=1即y=12，则xy−yx=1−12=12.
【规律】处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为结构相同的形式.若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最值条件解出变量的值.常见的放缩不等式如x−1≥lnx和ex≥x+1在同构构造中应用广泛.
【考点一 方法总结】
1. 处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为结构相同的形式.
2. 若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最值条件解出变量的值.
3. 常见的放缩不等式如x−1≥lnx和ex≥x+1在同构构造中应用广泛.
考点二：利用同构比较大小与求最值
考法2：利用同构比较大小
例2.已知00，当π40，令f'(x)=0，得x=1.当00，g(x)单调递增，∴g(x)≥g（1）=0，又f（1）=0，∴f(x1)=g(x2)≥0=f（1），∵f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴0