2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 重难点06三角恒等变换（3种考向）（原卷版+解析）

这是一份2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 重难点06三角恒等变换（3种考向）（原卷版+解析），共39页。

考向1：给角求值问题
考向2：给值求值问题
考向3：给值求角问题
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三、题型方法
考向1：给角求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏南京·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数.
（Ӏ）求函数的单调递增区间；
（ӀӀ）若，求的值.
6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
考向2：给值求值问题
一、单选题
1．（2023·湖北·统考二模）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（ ）
A．B．2C．D．
4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论：
①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①不成立、②成立
C．结论①成立、②不成立
D．结论①、②都不成立
6．（2023·天津和平·统考二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（ ）
①
②函数在上单调递减；
③函数在上的值域为；
④曲线在处的切线斜率为．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、多选题
7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“，”的否定是“，”
D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
三、填空题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
四、双空题
10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．
五、解答题
11．（2023·天津·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
12．（2023·云南丽江·统考一模）已知，.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．
(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若，，求的值．
15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
考向3：给值求角问题
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.
4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.
三、解答题
5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；
（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，， ，求边长的值.
6．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求的取值范围．
7．（2023·天津·校联考一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．
(1)若，求；
(2)若，设，求．
9．（2023·广东茂名·统考二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.
重难点06三角恒等变换（3种考向）
【目录】
考向1：给角求值问题
考向2：给值求值问题
考向3：给值求角问题
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三、题型方法
考向1：给角求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
2．（2023·江苏南京·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据三角恒等变换求的值，再利用作差法比较的大小.
【详解】，
，
∵，则，
又∵，则
，则，即
∴
故选：C.
3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
二、解答题
5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数.
（Ӏ）求函数的单调递增区间；
（ӀӀ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为，再把带入函数单调递增区间，分离出即可得解；
（2）由，即，根据的范围求出，带入即可得解.
【详解】（Ⅰ）
令，
得，，
的单调增区间为，；
（Ⅱ），即，
，，
又，
所以，得
.
6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是－2，确定A＝2．根据图象经过点，可得，解得（2）由已知得，求，利用同角三角函数关系得，代入化简得的值
试题解析：（1）因为的最小值是－2，所以A＝2．又由的图象经过点，可得，，所以或，又，所以，故，即．
（2）由（1）知，又，，故，即，又因为，所以，所以．
考点：三角函数解析式，给值求值
考向2：给值求值问题
一、单选题
1．（2023·湖北·统考二模）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可.
【详解】由，
所以，则，
所以，则，故，
由.
故选：C
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系可得，再由求值即可.
【详解】由题设，则，
又.
故选：C
4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.
【详解】如图：
过D作于E，则．
，
所以，.
故选：D．
5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论：
①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①不成立、②成立
C．结论①成立、②不成立
D．结论①、②都不成立
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.
【详解】对于结论①，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；
对于结论②，
方法一：
∵
又∵
∴
化简得，
∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.
方法二：（特值法）
当时，，
∴，∴.
∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.
故选：B.
【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.
6．（2023·天津和平·统考二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（ ）
①
②函数在上单调递减；
③函数在上的值域为；
④曲线在处的切线斜率为．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据图像求的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对于④：结合导数的几何意义运算求解.
【详解】由图可知：函数过点，则，
即，且，可得，
又因为函数过点，且为减区间的零点，
则，即，
则，解得，
注意到，即，则，解得，
故，解得，此时，
所以.
对于①：令，解得，
取，则，
即函数在y轴左侧离y轴最近的对称轴为，
由图可得，即，
且，即，
所以
，
故①正确；
对于②：因为，则，
且在不单调，所以在上不单调，
故②错误；
对于③：因为，则，，
可得，所以函数在上的值域为，
故③错误；
对于④：∵，
可得，
曲线在处的切线斜率为，故④错误；
故选：B.
【点睛】方法定睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
二、多选题
7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“，”的否定是“，”
D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】根据齐次式计算，错误，，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.
【详解】，则，故错误；
，则，正确；
根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；
将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.
故选：.
【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.
8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
【答案】AC
【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D.
【详解】对于A，当时，正确；
对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；
对于D，因为，，所以.
因为，所以由正弦定理得，从而.
又因为，所以，
从而，错误；
故选：AC.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
三、填空题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】，，
，
，
若，则，与矛盾，
故，
，
故答案为：.
四、双空题
10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．
【答案】
【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出；设，，，则，，根据正弦定理，得到，，求出，得到，表示出，求出最值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
即，
又因为，所以；
设，，，
则，，
由正弦定理可得，，
又，
由，得．
因为，
所以
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，
此时，
所以，；
答案为：；.
【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.
五、解答题
11．（2023·天津·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理可得出，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值；
（2）分析可知角为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值；
（3）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式可求得的值.
【详解】（1）解：由正弦定理及可得，则，
由余弦定理，可得，故.
（2）解：因为，，则，
由正弦定理可得.
（3）解：由（1）可知，则，故为锐角，
所以，，
所以，，
，
所以，.
12．（2023·云南丽江·统考一模）已知，.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用求解；
（2）先确定的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用并结合第（1）问的数据求解.
【详解】（1），∴，故，所以
，
；
（2）因为，，则，
又，∴，∴，，
结合（1）中数据知，
，所以
.
13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；
（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.
【详解】（1），
，
；
（2）由（1）得，
则，
，又，
，
又向量与垂直，
，
即，又
，则，
由正弦定理，
则，
的周长为.
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．
(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，在上的最大值为2，此时x的值为.
(2).
【分析】（1）由求得a的值，再由x的范围求得的范围进而求得的最大值即可.
（2）由得，再由范围求出的范围来判断的符号，进而求得的值，再运用配凑角求得值.
【详解】（1）∵，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，取得最大值为1，
∴当时，取得最大值为2，
即：在上的最大值为2，此时x的值为.
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
.
故的值为.
15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式.
（2）运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.
【详解】（1）由图可知，，解得：，
所以，即：，
将点代入得，
所以，，解得：，，
所以，
所以，
因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，
所以．
（2）因为，所以，
由，得，，
因为，
所以，即：，
所以由，得，
所以由，得，
所以，
由正弦定理，得，
所以△的面积．
考向3：给值求角问题
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】推导出，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，
所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.
故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换可得出关于的二次方程，求出的取值范围，求出的值，可求得角的值，代值计算可得出的值.
【详解】因为，
所以，，
因为，则，所以，，
故，所以，，则，
故.
故选：C.
二、填空题
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.
【答案】
【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.
【答案】6
【分析】化简求得，结合余弦定理以及求得，利用三角形的面积列方程，化简求得
【详解】∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵，∴，
∵，∴，
由余弦定理知，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：6
【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式.
三、解答题
5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；
（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，， ，求边长的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据点与关于轴对称，得出横纵坐标的关系，利用同角三角函数的商数关系，得出，解三角方程即可求解；
（2）根据（1）及已知条件，得出角，利用余弦定理及一元二次方程的解法即可求解.
【详解】解析：（1）由题意知，即，从而
故.
（2）由（1）知，因为角为集合中的最小正数，
当时，，即
由余弦定理及知，即，化简整理，得
化简整理，得，解得或.
所以边长的值为或.
6．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；
（2）利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据（1）的结论得出角的范围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
所以，
则，
又，所以，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，由正弦定理得，
又，，所以．
因为，所以，所以，
故，即的取值范围为．
7．（2023·天津·校联考一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得出角的大小；
（2）由余弦定理求出，再由正弦定理得出，最后由三角恒等变换求解.
【详解】（1）解：因为，
所以
所以，
因为，所以，所以
又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由正弦定理，可得．因为，故．
因此，．
所以，．
8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．
(1)若，求；
(2)若，设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，可求得的长，然后在中，利用勾股定理可求得的长；
（2）求得，，在中利用余弦定理可得出关于的等式，结合三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】（1）解：因为，可得，
因为，可得，，
故中，，可得．
（2）解：设，则，，
在中，由余弦定理得，
所以，
可得，
可得，可得，解得，
因为，则，得，
则，所以，得．
9．（2023·广东茂名·统考二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.
【答案】(1)；
(2)直角三角形.
【分析】（1）利用三角变换得到，即可求出；
（2）设，利用正弦定理，化简求出，得到，即可证明.
【详解】（1）由得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
因为，所以.
（2）设，，则，，，
在中，由正弦定理知，
即，即，
化简得，
所以，，
所以是直角三角形.