新高考数学一轮复习考点讲义：第01章第2讲常用逻辑用语（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第01章第2讲常用逻辑用语（含解析），共9页。

一 命题的概念
二 充分条件、必要条件与充要条件的概念
三 全称量词和存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
四 全称量词命题和存在量词命题
常/用/结/论
1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
一个推理形式等价于3种不同叙述形式. 如：p⇒q且q⇒/ p. 等价于：①p是q的充分不必要条件 (或q的充分不必要条件是p); ②q是p的必要不充分条件(或p的必要不充分条件是q); ③AB．
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
1．判断下列结论是否正确．
(1)“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p的必要不充分条件”．(√)
(2)“菱形的边长相等”是全称量词命题．(√)
(3)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要条件是“A＝B”．(√)
(4)命题“∃x∈R，sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)＝eq \f(3,2)”是真命题．()
2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A．∃x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：对于A，其否定为∀x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0，是全称量词命题，又x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，所以为真命题，故符合题意；对于B，其否定为存在量词命题，故不符合题意；对于C，其否定为全称量词命题，又x2＋2x＋2＞0，则原命题为假命题，即其否定为真命题，故符合题意；对于D，其否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0，而x＝－1时，x3＋1＝0，所以其否定不是真命题，故不符合题意．故选AC．
答案：AC
3．(1)“x＞0”是“x(x＋1)＞0”的________条件．
(2)“|a|＞0”是“a＞0”的________条件．
(3)“α＞β”是“sin α＞sin β”的________条件．
答案：(1)充分不必要 (2)必要不充分 (3)既不充分也不必要
4．(2024·重庆南开中学模拟)若命题“∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：因为∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0，所以a≥(2x＋x)min，x∈[1,2]，显然y＝2x＋x在x∈[1,2]上单调递增，所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
题型 如何判断充分、必要条件
典例1下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＞b，q：a＞b－1；
(2)p：a＞b，q：lg a＞lg b；
p eq \(⇒,/)q，原因在于没有强调a，b的范围．
(3)p：a＞b，q：2a＞2b；
指数函数的定义域为R，不必考虑a，b的范围．
(4)p：a＞b，q：a2＞b2.
解：(1)p⇒q，q eq \(⇒,/)p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)q⇒p，p eq \(⇒,/)q，∴p是q的必要不充分条件．
(3)p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．
(4)p eq \(⇒,/)q，q eq \(⇒,/)p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
判断充分、必要条件的步骤
(1)弄清条件p和结论q分别是什么．
(2)尝试p⇒q，q⇒p.
充要条件可以融入数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．
对点练1设a∈R，则“a>0”是“a3>a2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：①当a＝eq \f(1,2)时，满足“a>0”，但不满足“a3>a2”，所以“a>0”不能推出“a3>a2”，故充分性不成立；
②由a3>a2，解得a>1，因为“a>1”可以推出“a>0”，故必要性成立．
综上，可知“a>0”是“a3>a2”的必要不充分条件．故选B．
答案：B
典例2(2023·新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，则( )
本题考查了等差数列{an}及其衍生数列{Sn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的联系．
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：方法一：甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)，
因此eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq \f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，
即eq \f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
此推导过程略显繁琐，等差数列的本质可从各个方面体现出来．(1)通项公式为一次函数型. (2)前n项和为n的二次函数型且无常数项.
两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确．
方法二：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，
则eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，
若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，则可设eq \f(Sn,n)＝an＋b，则有Sn＝an2＋bn，符合等差数列的特性．
因此eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝D，
从等差数列的定义出发，这样设出公差．
eq \f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
当n≥2时，上两式相减，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝S1＋2(n－1)D，对n＝1也成立，
于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．故选C．
充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
对点练2(2023·全国甲卷，理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cs β＝0”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq \f(π,2)，β＝0，但sin α＋cs β≠0，
即“sin2α＋sin2β＝1”推不出“sin α＋cs β＝0”；
当sin α＋cs β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cs β)2＋sin2β＝1，
即“sin α＋cs β＝0”能推出“sin2α＋sin2β＝1”．
综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cs β＝0”的必要条件但不是充分条件．
故选B．
答案：B
题型 利用充分、必要条件求参数
典例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S⊆P，
把充分、必要条件转化为集合的包含关系，是此类题目的常规思路．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0,3]．故答案为[0,3]．
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，
数形结合：S理解为以1为中心，到1的距离小于或等于m(m≥0 )的闭区间，只有当m≥9时，才把P全部包含进来. 这样是不是更直观呢？
则m的取值范围为[9，＋∞)．故答案为[9，＋∞)．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
对点练3已知p：实数m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．
解析：由2－m＞m－1＞0，得1＜m＜eq \f(3,2)，即q：1＜m＜eq \f(3,2).因为p是q的充分条件．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,8).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,8)))
题型 全称量词命题与存在量词命题
典例4下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的正方形不是矩形；
“有的”属于存在量词．
(2)∀x∈R，x2＋2＞0；
(3)∃x∈Q，x2＝3.
解：(1)存在量词命题；假命题．
(2)全称量词命题；由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(3)存在量词命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq \r(3)，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
对点练4下列命题为真命题的是( )
A．∃x∈R，ln(x2＋1)＜0
B．∀x＞2,2x＞x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β
D．∀x∈(0，π)，sin x＞cs x
解析：∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sin α－sin β，故C是真命题；当x＝eq \f(π,6)∈(0，π)时，sin x＝eq \f(1,2)，cs x＝eq \f(\r(3),2)，sin x＜cs x，故D是假命题．故选C．
答案：C
题型 含量词命题的否定
典例5(1)(2024·湖南怀化模拟)命题“∀x∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．∀x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B．∀x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C．∃x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
D．∃x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
(2)若“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x＜m”是假命题，则实数m的最大值为( )
也可以先将原命题当作真命题来做：转化为m＞( sin x)min. 对于∀x∈D，m＞f(x)则转化为m＞f(x)max，而对于∃x∈D，m＞f(x)则转化为m＞f(x)min.
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
解析：(1)写全称量词命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．故选D．
(2)因为“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x＜m”是假命题，
所以“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sin x”是真命题，
即m≤sin x对于∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sin x)min，
因为y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上单调递增，
所以x＝－eq \f(π,3)时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以m≤－eq \f(\r(3),2)，所以实数m的最大值为－eq \f(\r(3),2).故选D．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词
确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论
对原命题的结论进行否定．
(3)“双量词”命题的否定叙述
“对于∀t∈D1，∃x∈D2，满足条件p(t，x)”其否定叙述为“∃t∈D1，
学会拆分. “∃x∈D2，满足条件p(t，x)”可以理解为对于变量t的“条件”．
对于∀x∈D2，满足条件綈p(t，x)”．
(4)常见词语的否定形式
对点练5命题“∀xex”的否定是( )
A．∃xex
解析：根据全称量词命题的否定可知，“∀xex”的否定是“∃x