新高考数学一轮复习考点讲义：第01章第1讲集合（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第01章第1讲集合（含解析），共10页。
复习要点 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
一 集合与元素
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4．常见数集的记法
二 集合间的基本关系
三 集合的基本运算
常/用/结/论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集．
非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔UA⊇UB.
3.U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)．
这一结论称为德·摩根定律，又叫反演律，可利用Venn图解释．
4．集合中元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)集合{x∈N|x3＝2x}，用列举法表示为{－eq \r(2)，0，eq \r(2)}．()
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)
2．设A，B，U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是( )
A．(UA)∪B＝U
B．(UA)∩(UB)＝UB
C．A∩(UB)＝∅
D．(UA)∪(UB)＝U
解析：A⊆B⊆U，则UB⊆UA，(UA)∪B＝U，选项A正确；(UA)∩(UB)＝UB，选项B正确；A∩(UB)＝∅，选项C正确；(UA)∪(UB)＝UA≠U，所以选项D错误．故选D．
答案：D
3．(2023·全国甲卷，文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪UM＝( )
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪UM＝{2,3,5}．故选A．
答案：A
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
解析：集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，即有2个交点，故A∩B中有2个元素．
答案：2
题型 集合基本概念的理解
典例1(1)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝k＋eq \f(1,2)，k∈Z}，B＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝eq \f(k,2)，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A＝B B．AB
C．BAD．无法比较
(2)设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)方法一(列举法)：A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(…，－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2)，\f(5,2)，\f(7,2)，…))，
列举法形象、直观.
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(…，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)，2，\f(5,2)，3，\f(7,2)，…)).
显然AB.
方法二(描述法)：集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝k＋eq \f(1,2)，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝eq \f(2k＋1,2)，k∈Z))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝eq \f(k,2)，k∈Z))))，2k＋1可以表示任意奇数，k可以表示任意整数，
描述法抽象、概括. 认真理解代数式的意义，以及内涵和外延．同学们应加强这方面的理解．
故AB.故选B．
(2)A＝{x|(x－a)2＜1}＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1＜x＜a＋1}．因为2∈A,3∉A，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＜2，,a＋1＞2，,a＋1≤3，))解得1＜a≤2.故实数a的取值范围是(1,2]．故答案为(1,2]．
求解与集合中元素有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
对点练1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9B．8
C．5D．4
(2)(2024·湖南长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的值是( )
A．0
B．4
C．0或4
D．不能确定
解析：(1)因为A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，故选A．
(2)当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，由集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.则a的值是0或4.故选C．
答案：(1)A (2)C
题型 集合基本关系的分析
典例2(1)若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，
每当有此条件，不可忽视B＝∅的特殊情形. 当B＝∅时，转化为判别式Δ＜0.
则实数m的取值范围为________．
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：(1)若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq \f(5,2)，此时B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，
代入求参后，回来再次确认条件B⊆A，这是个易错点．
不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．故答案为[－2,2)．
(2)∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))
此三个不等式，学生易错点在于第一个不等式容易遗漏. 思维的完整性：既要考虑B＝∅的情况，又要思考B≠∅时应满足的条件．
解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为(－∞，3]．故答案为(－∞，3]．
集合间的关系问题的注意点
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情
勤思考，多练习这一特殊情形．
况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，
集合的包含关系，转化为区间端点的大小关系，这是一个难点，主要是对端点值的取舍，尤其注意区别开区间和闭区间. 例如：[－1,2)⊆(2a－3，a＋2]⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3＜－1，,a＋2≥2 .))
进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．
对点练2(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝( )
A．2B．1
C．eq \f(2,3)D．－1
(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
①若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
②若BA，求实数a组成的集合C.
(1)解析：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；
若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．
综上所述，a＝1.
故选B．
答案：B
(2)解：①由x2－8x＋15＝0，
得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．
若a＝eq \f(1,5)，由ax－1＝0，得eq \f(1,5)x－1＝0，即x＝5.
∴B＝{5}．∴BA.
②∵A＝{3,5}，又BA，
故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；
若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝eq \f(1,a).
∴eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，即a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
故C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
题型 集合基本运算的多维研讨
维度1 集合的基本运算
典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
两集合的性质不同，M属于离散集，N属于连续集，高考有意这样设计．
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
(2)已知集合M＝{x|y＝lg(4－x2)}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x≤\f(1,2)))))，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))
B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2))
解析：(1)方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．
方法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C．
(2)由4－x2＞0得－2＜x＜2，所以M＝(－2,2)．
由cs x≤eq \f(1,2)，得2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，
坐标系中，快速求解三角不等式：
如图：可以写出cs x＞a和cs x＜a的区域角. 即“大于取右边，小于取左边”．
所以N＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))(k∈Z)．
k ＝－1时，N ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，－\f(π,3)))，k ＝0时，N ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,3))).
则M∩N＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2))，
所以Venn图中阴影部分表示的集合为M(M∩N)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3))).故选C．
集合基本运算的求解策略
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
对点练3(1)(2023·全国甲卷，理)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．∅
(2)(2023·全国乙卷，理)设集合U＝R，集合M＝{x|x