高考数学一轮复习考点讲与练专题02 常用逻辑用语讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题02 常用逻辑用语讲义（含答案解析），共4页。试卷主要包含了全称量词命题和存在量词命题等内容，欢迎下载使用。

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B⫌A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
►考点01 充分、必要条件的判定

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【例1】（2025•雁塔区校级模拟）“”是“函数在上存在零点”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据判断出：、（2），得到充分性成立；再由函数的零点存在性定理列出不等式求出的范围，可得到必要性不成立．
【解答】解：①充分性：当时，、（2），
所以函数在上存在零点”，成立；
②因为函数在上存在零点，
所以（2），则，
即，解得或，不成立，
综上可得，“”是“函数在上存在零点”是充分不必要条件，
故选：．
【例2】（2025•重庆校级模拟）已知两条直线，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【例3】（2025•邵阳模拟）已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可．
【解答】解：绘制出的图像，
当时，，即充分性成立，当时，，即必要性不成立．．
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【例4】（2025•天津校级模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：由得，由得，
若成立，则不一定成立，充分性不成立，
若成立，则一定成立，必要性成立，
即“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【例5】（2025•河东区一模）已知为正数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时再分与讨论即可求解．
【解答】解：当时，因为函数是单调递增函数，则一定有，
当时，当时，则，当时，则，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
►考点02 充分、必要条件的应用

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【例6】（2025•滨海县校级模拟）“，，”的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先由已知不等式恒成立分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化求出的范围，结合选项即可求解．
【解答】解：，，，
则在，上恒成立，
因为在，上单调递增，当时，该函数取得最大值，
故，即，
结合选项可知，所求的一个充分不必要条件为．
故选：．
【例7】（2024•阳泉三模）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
【答案】
【分析】先求出绝对值不等式的解集，结合充分条件和必要条件的定义，利用集合的包含关系进行求解即可．
【解答】解：因为，所以，记，
，记为，
因为是的必要不充分条件，所以，
所以，解得．
故选：．
【例8】（2024秋•南昌县校级期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．B．或
C．D．
【答案】
【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则且，然后结合集合的包含关系即可求解．
【解答】解：因为，，
若“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，时，符合题意，
当时，，，则，解得，
当时，，，则，解得，
所以．
故选：．
【例9】（2025春•天津校级月考）设．下列选项中，的充要条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】令，分和，利用基本不等式，求出的取值范围，即可求出结果．
【解答】解：令，
当时，，当且仅当，即时，取等号，
当时，，当且仅当，即时，取等号，
所以或，当且仅当时取等号，故的充要条件是且．
故选：．
【例10】（2024春•咸宁期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是
A．B．或C．D．
【答案】
【分析】由已知结合二次函数的性质及充分必要条件即可求解．
【解答】解：若有解，则△，
解得，
结合选项可知，符合题意．
故选：．
►考点03 含量词的命题的否定

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【例11】（2025•湖北模拟）命题“，”的否定是
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
【答案】
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“，”的否定是“，”．
故选：．
【例12】（2025•河南一模）命题“，”的否定是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】由全称命题的否定可以直接得出结果．
【解答】解：由全称命题的否定可知：原命题的否定为，．
故选：．
【例13】（2025•江西模拟）若命题，，则命题的否定为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】
【分析】根据命题的否定即可求解．
【解答】解：命题，，则命题的否定为：，．
故选：．
【例14】（2025•上饶二模）命题“，”的否定为
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
【答案】
【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果．
【解答】解：由全称命题的否定可知：，的否定为．
故选：．
【例15】（2025•陕西模拟）命题：，的否定为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，的否定为：，．
故选：．
►考点04含量词的命题的真假判断

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【例16】（2024秋•屯昌县校级期中）关于命题：“，”的叙述，正确的是
A．的否定：，
B．的否定：，
C．是真命题，的否定是假命题
D．是假命题，的否定是真命题
【答案】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断，由对恒成立可判断命题的真假，进而得到的否定的真假．
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，
的否定：，，
，都有，即都有，
命题：“，”是真命题，
则的否定是假命题．
故选：．
【例17】（2023秋•堆龙德庆区校级期中）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
（1），；
（2）有一个素数是偶数；
（3）任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
【答案】（1）“，”，假命题；
（2）“所有的素数都不是偶数”，假命题；
（3）“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题．
【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性．
【解答】解：（1）命题的否定为“，”，
因为，可得命题的否定是假命题．
（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，
由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．
（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，
若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，
那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．
【例18】（2023秋•赛罕区校级月考）写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假．
（1）命题：梯形的内角和是；
（2）命题，二次函数的图象关于轴对称．
【答案】（1）：有一个梯形的内角和不是，是假命题；
（2），二次函数 的图象不关于轴对称，是假命题．
【分析】根据题意，由全称命题与特称命题的关系写出命题的否定，再判断其真假可得答案．
【解答】解：（1）：有一个梯形的内角和不是，
因为所有梯形的内角和都为，所以是假命题；
（2），二次函数 的图象不关于轴对称，
因为，二次函数 的图象的对称轴为直线，
所以是假命题．
【例19】（2022秋•莱西市期中）下列各命题的否定为真命题的是
A．B．，
C．D．
【答案】
【分析】依次判断各命题的真假即可得其否定的真假．
【解答】解：对于，为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于，因为时，，，为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于，当时，，为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于，当时，，故为假命题，故其否定为真命题，正确；
故选：．
【例20】（2024秋•亳州校级期末）命题，为假命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解．
【解答】解：，为假命题，
依题意，，真命题，即在上有解，
当时，原不等式，解得，满足题意；
当时，不等式在上一定有解，故满足题意；
当时，若在上有解，则△，解得，
综上所述，，
所以命题，为假命题的一个充分不必要条件可以是．
故选：．
►考点05含量词的命题的应用

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【例21】（2024秋•惠阳区校级期中）已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题可知命题的否定，是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可．
【解答】解：命题，的否定是真命题，
则，是真命题，
当时，原不等式，解得，满足题意；
当时，不等式在上一定有解，故满足题意；
当时，若在上有解，则△，解得，
综上所述，，
因此命题，的否定是真命题的充要条件为，
所以命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是．
故选：．
【例22】（2023秋•海安市校级月考）已知命题，，，命题，．
（1）当命题为假命题时，求实数的取值范围；
（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2），，．
【分析】（1）根据为真命题，分离参数得到，得到答案；
（2）根据题意得到命题和一真一假，分两种情况为真，为假时和当为真，为假时，求出参数的取值范围．
【解答】解：（1）当命题为假命题时，命题为真命题，
，，，
当，时，，，
，即；
实数的取值范围为，．
（2）命题和中有且仅有一个是假命题，
命题和一真一假，
当命题为真命题时，△，解得或，
①当命题为真，命题为假时，
，解得，
②当命题为真，命题为假时，
，解得，
综上，实数的取值范围为，，．
【例23】（2024秋•临沂期中）已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意，分析命题的否定，进而可得在上恒成立，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题，，则为：，，
若是真命题，则在上恒成立，
必有，
故选：．
【例24】（2024秋•青秀区校级月考）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．
【答案】
【分析】由已知结合全称量词命题的真假关系即可求解．
【解答】解：若命题“，”是假命题，
即存在，，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是，．
故选：．
【例25】（2024秋•安徽月考）若“，”是假命题，则实数的最小值为 ．
【答案】．
【分析】若，是假命题，则，，是真命题，，结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：若，是假命题，则，，是真命题，
所以，
因为，
所以，
则实数的最小值为．
故答案为：．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
全称命题的否定（∀→∃，并否定结论）
原命题：∀x∈M，P(x)（所有x属于M，都满足P(x)）
否定命题：∃x∈M，¬P(x)（存在x属于M，不满足P(x)）
存在命题的否定（∃→∀，并否定结论）
原命题：∃x∈M，P(x)（存在x属于M，满足P(x)）
否定命题：∀x∈M，¬P(x)（所有x属于M，都不满足P(x)）
一、全称命题（∀x∈M，P (x)）的真假判断
定义：命题 “对所有 x 属于 M，P (x) 成立”。
判断方法：
为真：需证明论域 M 中的每一个元素 x都满足 P (x)。
为假：只需找到至少一个反例（即存在 x∈M，使得 P (x) 不成立）。
二、存在命题（∃x∈M，P (x)）的真假判断
定义：命题 “存在 x 属于 M，使得 P (x) 成立”。
判断方法：
为真：只需找到至少一个实例（即存在 x∈M，使得 P (x) 成立）。
为假：需证明论域 M 中没有任何元素 x满足 P (x)（即∀x∈M，¬P (x) 为真）。
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．