新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第十讲抛物线(二)（含解析）

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直线与抛物线的位置关系
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝kx＋m，))得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①相切：k≠0，Δ＝0；
②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；
③相离：k≠0，Δ0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，则有下列性质：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
联立方程，利用根与系数的关系可求出．
焦半径：坐标式．
(2)|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1－cs θ)；

焦半径：倾斜角式，推导过程如下：
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1＋cs θ)；
|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ).
由(2)知|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,1－cs2θ)＝eq \f(2p,sin2θ). 易知：通径是焦点弦中最短的弦．
(3)S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ).
设点O到直线AB的距离为d，则d＝eq \f(psinθ,2)，由(2)知S＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(p2,2sin θ).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
由(2)知eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1－csθ＋1＋csθ,p)＝eq \f(2,p).
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
eq \a\vs4\al(AB中点P到准线的距离d＝|PQ|＝\f(1,2)|AC|＋|BD|＝\f(1,2)|AB|＝r.)
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
证明同(5)．
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1y＝px1＋x→过A的切线，,y2y＝px2＋x→过B的切线，,y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))得两切线交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1y2,2p)，\f(y1＋y2,2)))，又由y1y2＝－p2知xQ＝－eq \f(p,2)，即Q点轨迹方程为准线x＝－eq \f(p,2). 易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线与抛物线相交，则它们有1个或2个公共点．(√)
(2)所有的焦点弦中，通径的长最短．(√)
(3)若直线l过点(2p,0)，与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，O为原点，则OA⊥OB．(√)
(4)若过准线上一点P作抛物线的两条切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点．(√)
2．直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．2 D．4
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，又直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，所以xA＋xB＝6，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝6＋2＝8.故选B．
答案：B
3．过点P(4，－3)作抛物线y＝eq \f(1,4)x2的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－3＝0
解析：设切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，又y′＝eq \f(1,2)x，则切线PA的方程为y－y1＝eq \f(1,2)x1·(x－x1)，即y＝eq \f(1,2)x1x－y1，切线PB的方程为y－y2＝eq \f(1,2)x2(x－x2)，即y＝eq \f(1,2)x2x－y2，由P(4，－3)是PA，PB的交点可知，－3＝2x1－y1，－3＝2x2－y2，由两点确定一条直线，可得过A，B的直线方程为－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.故选A．
答案：A
4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
解析：直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.
答案：0或1
题型 焦点弦问题
典例1 (1)(2024·河南驻马店期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A(点A在第一象限)，B两点，且eq \f(|AF|,|BF|)＝2，则△ABO(O为坐标原
秒杀：不妨设AB的倾斜角θ为锐角，则eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(\f(p,1－csθ),\f(p,1＋csθ))＝eq \f(1＋csθ,1－csθ)＝2，即csθ＝eq \f(1,3)⇒sin θ＝eq \f(2\r(2),3)⇒S△ABO＝eq \f(p2,2sinθ)＝eq \f(4,2 ×\f(2\r(2),3))＝eq \f(3\r(2),2).
点)的面积是( )
A．3eq \r( ,2) B．eq \f(3\r( ,2),2)
C．2 D．4
(2)如图，已知线段AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条弦，过点A(A在第一象限内)作直线AC垂直于抛物线的准线，垂足为C，直线AT与抛物线相切于点A，交x轴于点T，给出下列命题：
①∠AFx＝2∠TAF；②|TF|＝|AF|；
③AT⊥CF.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)由题意可得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1.由于l的斜率不为0，故可设倒斜截式．当然，由于本题斜率不存在时不满足eq \f(|AF|,|BF|)＝2，故也可设点斜式．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))整理得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y20，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
∵eq \f(|AF|,|BF|)＝2，∴y1＝－2y2，则－2yeq \\al(2,2)＝－4，解得y2＝－eq \r(2)，从而y1－y2＝3eq \r(2)，
故△ABO的面积是eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×1×3eq \r(2)＝eq \f(3\r(2),2).故选B．
(2)根据抛物线的定义可知|AF|＝|AC|，由于AC垂直于抛物线的准线，所以AC∥x轴，所以∠AFx＝∠CAF.设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0))，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，y0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设D是CF的中点，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y0,2)))，
由于|AC|＝|AF|，因此可想到取CF中点D，判断AD与抛物线的位置关系．
所以直线AD的方程为y－eq \f(y0,2)＝eq \f(y0－\f(y0,2),\f(y\\al(2,0),2p)－0)(x－0)，即y＝eq \f(p,y0)x＋eq \f(y0,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(p,y0)x＋\f(y0,2)，,y2＝2px，))消去y并化简，得eq \f(p2,y\\al(2,0))x2－px＋eq \f(y\\al(2,0),4)＝0，其判别式Δ＝(－p)2－4×eq \f(p2,y\\al(2,0))×eq \f(y\\al(2,0),4)＝0，所以直线AD与抛物线相切，故直线AD与直
到此便可判断①②③了．
线AT重合．由于D是CF的中点，所以AD⊥CF，也即AT⊥CF，③正确；根据等腰三角形的性质可知∠CAF＝2∠TAF，所以∠AFx＝2∠TAF，①正确；由于AC∥x轴，所以∠CAT＝∠FTA，所以∠FTA＝∠TAF，所以|TF|＝|AF|，②正确．综上所述，正确命题的个数为3.故选D．
1．解决焦点弦问题时，要注意以下几点(以抛物线y2＝2px(p>0)为例)：
①设焦点弦与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
③利用yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
2．利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，再转化为到准线的距离，再求解.
对点练1 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若点F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C．eq \f(16,3) D．eq \f(20,3)
(2)已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1,3，x2三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：如图，设准线l与x轴交于点M，过点A作准线l的垂线AD，交l于点D．由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点F是线段AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，所以A(3,2eq \r( ,3))．又F(1,0)，所以kAF＝eq \f(2\r( ,3),3－1)＝eq \r( ,3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r( ,3)(x－1)，将此方程与抛物线方程y2＝4x联立后消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(10,3)＋2＝eq \f(16,3).故选C．
(2)由题意，抛物线y2＝4x，可得其焦点坐标为F(1,0)．
根据抛物线的定义，可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋2.
又由x1,3，x2三个数构成等差数列，所以
x1＋x2＝6，所以|AB|＝6＋2＝8.
答案：(1)C (2)B
题型 抛物线的切线
典例2 (1)已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，则实数a的值

eq \a\vs4\al(易错点1：不要漏掉a＝0的情况.)
eq \a\vs4\al(易错点2：当a≠0时，注意不要漏掉直线与轴平行的情况.)
为____________．
(2)(2024·黑龙江哈师大附中期末)已知抛物线G：x2＝4y，过点P(2eq \r( ,3)，2)向抛物线G作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝________.
设切线方程，由联立方程后Δ＝0得斜率k1，k2，进而得切点A，B的坐标．
解析：(1)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax.))
①当a＝0时，此方程组恰有一组解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0.))
即y2＝ax不是抛物线时．
②当a≠0时，消去x，得eq \f(a＋1,a)y2－y－1＝0.
即y2＝ax是抛物线时．
a．若a＝－1，方程组恰有一组解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
直线与轴平行．
b．若a≠－1，令Δ＝0，得1＋eq \f(4a＋1,a)＝0，解得a
直线与曲线相切时．
＝－eq \f(4,5)，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－eq \f(4,5).
故答案为0或－1或－eq \f(4,5).
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意可知切线的斜率存在，
设切线的斜率为k，可得切线方程为y－2＝k(x－2eq \r(3))，即y＝k(x－2eq \r(3))＋2，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2\r(3)＋2，,x2＝4y，))消去y并整理得eq \f(1,4)x2－kx＋2eq \r(3)k－2＝0①，
由Δ＝(－k)2－4×eq \f(1,4)(2eq \r(3)k－2)＝0，解得k1＝eq \r(3)－1，k2＝eq \r(3)＋1，
此时将k1＝eq \r(3)－1代入①中，可得xA＝2eq \r(3)－2，同理得xB＝2eq \r(3)＋2，
所以yA＝4－2eq \r(3)，yB＝4＋2eq \r(3).
又由抛物线的定义，可得
|AF|·|BF|＝(yA＋1)(yB＋1)＝yAyB＋(yA＋yB)＋1
利用抛物线的定义，转化成到准线的距离．
＝(4－2eq \r(3))(4＋2eq \r(3))＋4－2eq \r(3)＋4＋2eq \r(3)＋1＝13.故答案为13.
1．直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．
2．在讨论时应注意要全面，不要忽略二次项的系数为零的情况.
对点练2 (1)(2024·河北衡水一中月考)已知抛物线y＝eq \f(1,4)x2与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝________.
(2)(2024·河北沧衡八校联盟)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为________．
解析：(1)设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,4)x\\al(2,0)))，由y＝eq \f(1,4)x2，求导得y′＝eq \f(1,2)x，∴抛物线在P点处的切线的斜率k＝eq \f(1,2)x0.
∵圆(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为C(1,2)，∴kPC＝eq \f(\f(1,4)x\\al(2,0)－2,x0－1).
由题意，得kPC·k＝eq \f(\f(1,4)x\\al(2,0)－2,x0－1)·eq \f(1,2)x0＝－1，解得x0＝2.
∴P(2,1)，∴r＝|PC|＝eq \r(2).
(2)抛物线C：x2＝4y，即y＝eq \f(1,4)x2，故y′＝eq \f(1,2)x，设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \f(1,2)x1＝eq \f(y1＋2,x1＋1)，又xeq \\al(2,1)＝4y1，整理得x1＋2y1＝4，同理得x2＋2y2＝4.
故直线AB的方程为x＋2y＝4，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，,x2＝4y，))得x2＋2x－8＝0，Δ>0，
故x1＋x2＝－2，x1x2＝－8，|AB|＝eq \r( ,1＋\f(1,4))×eq \r( ,－22－4×－8)＝3eq \r( ,5).
又点P到直线AB的距离为eq \f(|－1－4－4|,\r( ,5))＝eq \f(9,\r( ,5))，
故三角形PAB的面积为eq \f(1,2)×3eq \r( ,5)×eq \f(9,\r( ,5))＝eq \f(27,2).
答案：(1)eq \r(2) (2)eq \f(27,2)
题型 直线与抛物线的综合问题
典例3 (2022·全国甲卷，理)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
可知xM＝p，即|MF|＝p＋eq \f(p,2).
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
解：(1)抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时|MF|＝p＋eq \f(p,2)＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,3),4)，y3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,4),4)，y4))，直线MN：x＝my＋1，
由于MN斜率不为0，则设为倒斜截式．
当m＝0时，易得α＝β＝90°，α－β＝0°；
当m≠0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))
可得y2－4my－4＝0，Δ＞0，y1y2＝－4，
由斜率公式可得kMN＝eq \f(y1－y2,\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,2),4))＝eq \f(4,y1＋y2)，
kAB＝eq \f(y3－y4,\f(y\\al(2,3),4)－\f(y\\al(2,4),4))＝eq \f(4,y3＋y4)，
直线MD：x＝eq \f(\f(y\\al(2,1),4)－2,y1)·y＋2，代入抛物线方程可得y2－eq \f(y\\al(2,1)－8,y1)·y－8＝0，
Δ＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，
同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝eq \f(4,y3＋y4)＝eq \f(4,2y1＋y2)＝eq \f(kMN,2)，
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝eq \f(kMN,2)＝eq \f(tan α,2)，
找到tan α与tan β的关系，进而表示出tan(α－β)，再研究最大值．
若要使α－β最大，则β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
设kMN＝2kAB＝2k＞0，
则tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(k,1＋2k2)＝eq \f(1,\f(1,k)＋2k)≤eq \f(1,2\r(\f(1,k)·2k))＝eq \f(\r(2),4)，
显然利用基本不等式求最值．
当且仅当eq \f(1,k)＝2k，即k＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，
一定要验证等号能否取到．
所以当α－β取得最大值时，kAB＝eq \f(\r(2),2)，
设直线AB：x＝eq \r(2)y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4eq \r(2)y－4n＝0，
Δ＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB的方程为x－eq \r(2)y－4＝0.
1．研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用． 注意适用条件：2个交点．
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.
对点练3 (1)设F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若△OAB(O为坐标原点)的面积为3eq \r( ,2)，则p＝( )
A．eq \r( ,2) B．eq \r( ,6)
C．1 D．2
(2)(2024·四川雅安一诊)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l1与C交于A，B两点(横坐标分别为xA，xB，点A在第一象限)，l2为C的准线，过点A与l2垂直的直线与l2相交于点M.若|AF|＝|FM|，则eq \f(xA,xB)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：(1)由题意可知AB：x＝y＋eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x可得y2－2py－p2＝0，
Δ>0，y1＋y2＝2p，
∴x1＋x2＝y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)＝3p，
∴|AB|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝4p.
又点O到AB的距离d＝eq \f(p,2\r( ,2))，∴S△OAB＝eq \f(1,2)·4p·eq \f(p,2\r( ,2))＝3eq \r( ,2)，解得p＝eq \r( ,6).故选B．
(2)设直线l1的斜率为k，倾斜角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0