(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.7《双曲线》(含详解)

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知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( √ )
教材改编题
1．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B．5 C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，
又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
2．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
答案 B
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为eq \r(3)的双曲线方程________．
答案 y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以)
解析 取c＝eq \r(3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，
可得a＝1，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，
因此，符合条件的双曲线方程为y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以).
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 B
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案 2eq \r(3)
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(1,2)，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0”，则△F1PF2的面积为_____．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
∵eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0，∴eq \(PF1,\s\up6(―→))⊥eq \(PF2,\s\up6(―→))，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.
教师备选
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1
B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
答案 C
解析 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
2．(2022·长春模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A．8 B．10
C．4＋3eq \r(7) D．3＋3eq \r(17)
答案 B
解析 由已知得双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，
|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，
故△PAF的周长的最小值为10.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 B
解析 由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，
|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)a，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)
＝eq \f(－2a2,6a2)＝－eq \f(1,3)，
sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(2),3)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)·a·3a·eq \f(2\r(2),3)＝eq \r(2)a2＝eq \r(2)，
所以a＝1，实轴长2a＝2.
(2)已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
答案 9
解析 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，
所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，
满足|PF1|＋|PA|最小，
|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．
又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝2，
则c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，
则双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
将点(eq \r(2)，eq \r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq \f(2,a2)－eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此，双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．
答案 y2－eq \f(x2,9)＝1
解析 设双曲线的方程是y2－eq \f(x2,9)＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(3，eq \r(2))，
所以λ＝2－eq \f(9,9)＝1，
故双曲线的标准方程为y2－eq \f(x2,9)＝1.
教师备选
1．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq \r(4－a2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
2．经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(7x2,16)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,2)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(3y2,23)－eq \f(x2,23)＝1
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，所以可设双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，
|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，
2b＝2eq \r(2)，
由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，
即c＝eq \r(3)a.
又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，
∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(y2,12)－eq \f(x2,4)＝1 B.eq \f(3y2,4)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1
答案 B
解析 由题意知，b＝2，
又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2，
解得a2＝eq \f(4,3)，
所以双曲线的方程为eq \f(3y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.
(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 B
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，
所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，
所以S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以c≥4，所以2c≥8，
所以C的焦距的最小值为8.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs 60°)
＝eq \r(7)m，
所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)
＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
高考改编
已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5)
C.eq \r(7) D．7
答案 C
解析 点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，
设|AF1|＝m，
由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，
由双曲线定义得
|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，
在△AF1F2中，
|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
由余弦定理知，
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cs 120°
＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
∴|F1F2|＝2eq \r(7)a，
又|F1F2|＝2c，
∴2eq \r(7)a＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7).
(2)(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案 A
解析 在△PF1F2中，
sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝eq \f(c,a)<2，
又e>1，所以1教师备选
1．(2022·济南模拟)已知双曲线eq \f(x2,m＋1)－eq \f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2
答案 A
解析 由渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(3),3)x，
所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
即eq \f(m,m＋1)＝eq \f(1,3)，m＝eq \f(1,2).
2．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
答案 A
解析 令双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，则c＝eq \r(a2＋b2).
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，
且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，
则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＝a2，
∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即离心率e＝eq \r(2).
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则( )
A．双曲线C的焦点坐标为(0，±2)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
C．点(2,3)在双曲线C上
D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点
答案 BC
解析 双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c－a＝1，离心率e＝eq \f(c,a)＝2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，所以C的焦点坐标为(±2,0)，A错误；
双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x，B正确；
因为22－eq \f(32,3)＝1，所以点(2,3)在双曲线C上，C正确；
直线mx－y－m＝0即y＝m(x－1)，恒过点(1,0)，当m＝±eq \r(3)时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误．
(2)(2022·威海模拟)若双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，＋∞))
答案 D
解析 因为双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，
双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
为使双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，
只需eq \f(b,a)>eq \f(2,3)，
则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).
课时精练
1．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(5,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(5,12)))
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为eq \f(x2,\f(1,9))－eq \f(y2,\f(1,16))＝1，
所以c2＝eq \f(1,9)＋eq \f(1,16)＝eq \f(25,144)，
所以c＝eq \f(5,12)，
所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(5,12)，0)).
2．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1
答案 D
解析 由题意，得2eq \r(m)＝eq \r(m＋6)，解得m＝2，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.
3．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
答案 B
解析 方法一 依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.
方法二 根据双曲线的定义，
得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，
所以||PF2|－3|＝6，
所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．
4．(2022·大连模拟)若双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3eq \r(3)，则C的离心率为( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 A
解析 双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点坐标为(eq \r(9＋b2)，0)，
渐近线方程为y＝±eq \f(b,3)x，即bx±3y＝0，
∵双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3eq \r(3)，
∴eq \f(b\r(9＋b2),\r(b2＋9))＝3eq \r(3)，
解得b＝3eq \r(3)，
∴c＝eq \r(9＋b2)＝eq \r(9＋3\r(3)2)＝6，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(6,3)＝2.
5．(多选)已知双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为eq \f(9,4)
答案 ABC
解析 因为a2＝16，
所以a＝4,2a＝8，故A正确；
因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为
y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x，故B正确；
因为c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(16＋9)＝5，
所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为eq \f(|15|,\r(32＋－42))＝3，故C正确；
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误．
6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，P为C上一点，则以下说法正确的是( )
A．C的实轴长为8B．C的离心率为eq \f(5,3)
C．|PF1|－|PF2|＝8D．C的焦距为10
答案 AD
解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x，
而一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，
∴a＝4，故C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
∴双曲线实轴长为2a＝8，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(16＋9),4)＝eq \f(5,4)，
由于P可能在C不同分支上，
则有||PF1|－|PF2||＝8，
焦距为2c＝2eq \r(a2＋b2)＝10.
∴A，D正确，B，C错误．
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
8．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案 eq \f(32,15)
解析 因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.
所以A(3,0)，F(5,0)，
不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，
代入双曲线方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
所以S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
9．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．
解 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，
∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)×2ch，
∴h＝eq \f(2\r(5),5).
即M点到x轴的距离为eq \f(2\r(5),5).
(2)设双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线C过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(5),5)，①
SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
将y＝kx＋m与eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1联立，消去y，
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－5k2≠0，,80m2－5k2＋4>0，))④
∴x1＋x2＝eq \f(10km,4－5k2)，x1x2＝－eq \f(5m2＋20,4－5k2)，
∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5km,4－5k2)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(4m,4－5k2).
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
∴kAD＝eq \f(y0－2,x0)＝eq \f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝－eq \f(1,k)，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m<－eq \f(9,2)或m>0.
由10k2＝8－9m>0，得m综上，实数m的取值范围是m<－eq \f(9,2)或011．(多选)双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)
B．双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1与双曲线C的渐近线相同
C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq \r(2)
D．|PF|的最小值为2
答案 ABC
解析 因为a＝2，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，
故A正确；
双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，故B正确；
因为PO⊥PF，点F(eq \r(6)，0)到渐近线eq \r(2)x－2y＝0的距离d＝eq \f(|\r(2)×\r(6)|,\r(6))＝eq \r(2)，
所以|PF|＝eq \r(2)，
所以|PO|＝eq \r(\r(6)2－\r(2)2)＝2，
所以△PFO的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×2＝eq \r(2)，
故C正确；
|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，
即|PF|＝eq \r(2)，故D不正确．
12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(3,2)，\f(\r(13),2))) D．(1，eq \r(13))
答案 B
解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝eq \f(b,2)x，即bx－2y＝0，
又该圆的圆心为(c，0)，
故圆心到渐近线的距离为eq \f(bc,\r(b2＋4))，
则由题意可得eq \f(bc,\r(b2＋4))<3，即b2c2<9(b2＋4)，
又b2＝c2－a2＝c2－4，
则(c2－4)c2<9c2，
解得c2<13，即c则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)1，
故离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))).
13．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq \r(5)＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(eq \r(2)，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b，由双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq \r(5)＝0上，可得c＝eq \r(5)，
则由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，
双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1，
由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，
设P(m，n)(m>2，n>0)，
则eq \f(m2,4)－n2＝1，即eq \f(n2,m2－4)＝eq \f(1,4)，
k1k2＝eq \f(n,m＋2)·eq \f(n,m－2)
＝eq \f(n2,m2－4)＝eq \f(1,4)，
易知k1，k2>0，则k1＋k2≥2eq \r(k1k2)＝1，
由A，B分别为双曲线的左、右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2>1.
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，则C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 根据双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
则|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，
所以在△POF1中，由余弦定理可得
cs∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)
＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)c))2,2×c×c)＝－eq \f(1,2).
所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，则∠POF2＝eq \f(π,3)，
所以tan∠POF2＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，
则渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
15．(多选)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为eq \f(\r(13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面积为6
答案 ABD
解析 如图，
设双曲线C的焦距为2c＝2eq \r(13)，MN与y轴交于点P，
由题意可知|OM|＝c＝eq \r(13)，
则P(0，b)，由eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝eq \f(2,3)|OP|，
即a＝eq \f(2,3)b，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，
所以a＝2，b＝3，e＝eq \f(\r(13),2).
双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6.
16．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解 设双曲线的半焦距为c，
则F(c，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a)))，
因为|AF|＝|BF|，所以eq \f(b2,a)＝a＋c，
所以eq \f(c2－a2,a)＝a＋c，
所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.
(2)证明 设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝eq \r(3)a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
当∠BFA＝eq \f(π,2)时，
由题意易得∠BAF＝eq \f(π,4)，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠eq \f(π,2)时，
因为tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，
tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a)，
所以tan 2∠BAF＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)))2)＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－y\\al(2,0))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3x\\al(2,0)－a2)
＝eq \f(2y0,x0＋a－3x0－a)
＝－eq \f(y0,x0－2a)＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)