新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第五讲椭圆(一)（含解析）

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一 椭圆的概念
1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a0，n>0)表示的曲线是椭圆．()
2．(2024·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为eq \f(1,2) B．焦距为eq \f(\r( ,3),4)
C．短轴长为eq \f(1,4) D．离心率为eq \f(\r( ,3),2)
解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r( ,3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq \f(\r( ,3),2)，短轴长2b＝eq \f(1,2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,3),2)，故选D.
答案：D
3．若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))解得30，因为离心率为eq \f(1,2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4).所以椭圆C的方程可以为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(答案不唯一)．
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(答案不唯一)
题型 椭圆的定义及应用
典例1(1)(2024·云南丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外
可得|PA|＝r＋1.
切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
数形结合可得|PB|＝8－r.
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
(2)(2023·全国甲卷，文)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \(PF1,\s\up16(→))·eq \(PF2,\s\up16(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
可直接利用焦点三角形的面积秒杀：S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|⇒|PF1|·|PF2|.
A．1 B．2 C．4 D．5
(3)(2024·江西九江模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为平面内异于F1，F2的两点．若AB的中点P在C上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝2eq \(AF1,\s\up16(→))，eq \(AD,\s\up16(→))＝2eq \(AF2,\s\up16(→))，则|BC|＋|BD|＝( )
A．4 B．4eq \r( ,2)
C．8 D．8eq \r( ,2)
解析：(1)设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，
圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
可知圆A在圆B内部，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．故选A.
(2)方法一：因为eq \(PF1,\s\up16(→))·eq \(PF2,\s\up16(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，
从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.
方法二：因为eq \(PF1,\s\up16(→))·eq \(PF2,\s\up16(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16.
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)，平方得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.
故选B.
(3)如图所示，连接PF1，PF2，
∵eq \(AC,\s\up16(→))＝2eq \(AF1,\s\up16(→))，eq \(AD,\s\up16(→))＝2eq \(AF2,\s\up16(→))，
∴F1，F2分别为线段AC，AD的中点．
又P为AB的中点，
∴PF1，PF2分别是△ABC和△ABD的中位线，∴|BC|＝2|PF1|，|BD|＝2|PF2|，【划重点】通过中位线将待求长度转化为椭圆上的点到焦点的距离，便可利用椭圆定义求值了．
∵点P在C上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq \r( ,2)，
∴|BC|＋|BD|＝8eq \r( ,2).故选D.
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
2．焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；
常见题型：①周长；②面积；③焦半径．
利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等.
对点练1(1)已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是( )
A．[7,13] B．[10,15]
C．[10,13] D．[7,15]
(2)(2023·全国甲卷，理)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|PO|＝( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(\r(30),2) C.eq \f(3,5) D.eq \f(\r(35),2)
(3)已知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，B是圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．
解析：(1) 如图，设F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，则由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤|PM|＋|PN|≤10＋(1＋2)＝13，即|PM|＋|PN|的取值范围为[7,13]．故选A.
(2)由题不妨设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则F1(－eq \r( ,3)，0)，F2(eq \r( ,3)，0)，
所以|OF1|＝|OF2|＝eq \r( ,3)，|F1F2|＝2eq \r( ,3)，|PF1|＋|PF2|＝6.
在△POF1中，由余弦定理得
cs∠POF1＝eq \f(|OF1|2＋|OP|2－|PF1|2,2|OF1|·|OP|)，
在△POF2中，由余弦定理得
cs∠POF2＝eq \f(|OF2|2＋|OP|2－|PF2|2,2|OF2|·|OP|)，
又∠POF1＋∠POF2＝π，所以cs∠POF1＋cs∠POF2＝eq \f(|OF1|2＋|OP|2－|PF1|2,2|OF1|·|OP|)＋eq \f(|OF2|2＋|OP|2－|PF2|2,2|OF2|·|OP|)＝0，又|OF1|＝|OF2|，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|OF1|2＋|OF2|2＋2|OP|2＝6＋2|OP|2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(36－12,2|PF1|·|PF2|)－1＝eq \f(3,5)，
解得|PF1|·|PF2|＝eq \f(15,2)，
又因为|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝36－15＝21，所以6＋2|OP|2＝21，所以|OP|＝eq \r( ,\f(15,2))＝eq \f(\r( ,30),2).故选B.
(3)如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|＝1，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝eq \f(1,2)，b2＝eq \f(3,4).所以动点P的轨迹方程为x2＋eq \f(4,3)y2＝1.
答案：(1)A (2)B (3)x2＋eq \f(4,3)y2＝1
题型 椭圆的标准方程
典例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)经过点P1(eq \r( ,6)，1)，P2(－eq \r( ,3)，－eq \r( ,2))；
宜采用焦点不定的设法：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，这样可避免分类讨论，简化计算过程．
(2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq \r( ,3))．
注意要讨论焦点所在的轴．
解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
∵点P1(eq \r( ,6)，1)，P2(－eq \r( ,3)，－eq \r( ,2))在椭圆上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
故eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1为所求椭圆的方程．
(2)方法一：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,a2－b2),a)＝eq \f(1,2).若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，
思路较自然，找到关于m，n的方程组即可．
则由e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，得1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))2＝eq \f(1,4)，从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))2＝eq \f(3,4)，eq \f(n,m)＝eq \f(\r( ,3),2).
又eq \f(4,m2)＋eq \f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m>n>0)，
则eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝1，且eq \f(n,m)＝eq \f(\r( ,3),2)，解得m2＝eq \f(25,3)，n2＝eq \f(25,4).
故所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq \r( ,3))代入，
此法是共离心率椭圆方程的设法，简化运算．
得t＝eq \f(22,4)＋eq \f(－\r( ,3)2,3)＝2.
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ>0)，代入点(2，－eq \r( ,3))，得λ＝eq \f(25,12)，
∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：
对点练2(1)已知方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，若该方程表示椭圆方程，则实数k的取值范围是( )
A．(1,9) B．(9，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1,5)∪(5,9)
(2)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8eq \r( ,3)π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,3)＝1
B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,3)＝1
C.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
D.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
解析：(1)因为方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1表示椭圆，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－1>0，,9－k>0，,k－1≠9－k，))解得1b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝eq \f(π,3)，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线交F1P的延长线于点N.若sin∠PNF2＝eq \f(\r( ,6),4)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r( ,3)－1,2) B.eq \f(\r( ,3),2)
C.eq \f(\r( ,5),2) D.eq \f(\r( ,5)－1,2)
(3)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，
实际问题中蕴含着直线、圆、椭圆的位置关系，因此准确作图是解决本题的关键．
点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________.
解析：(1)由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).
故选A.
(2)设NF2与∠F1PF2的外角平分线的交点为M，∠NPM＝∠MPF2＝α，
由于sin∠PNF2＝eq \f(\r( ,6),4)，PM⊥NF2，所以cs α＝sin∠PNF2＝eq \f(\r( ,6),4)，cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r( ,6),4)))2－1＝－eq \f(1,4)，所以cs∠F1PF2＝cs(π－2α)＝eq \f(1,4)，sin∠F1PF2＝eq \f(\r( ,15),4).
设|PF1|＝x，则|PF2|＝2a－x.在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝x2＋(2a－x)2－2x(2a－x)cs∠F1PF2①，焦点三角形问题：定义＋余弦定理．
由正弦定理得eq \f(2c,\f(\r( ,15),4))＝eq \f(2a－x,\f(\r( ,3),2))，则x＝2a－eq \f(4\r( ,5),5)c，将其代入①式化简得c2－eq \r( ,5)ac＋a2＝0，方法：求椭圆的离心率通常考虑建立关于a，c的齐次等式．
即e2－eq \r( ,5)e＋1＝0，解得e＝eq \f(\r( ,5)＋1,2)或e＝eq \f(\r( ,5)－1,2)，
由于0b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r( ,7),3) B.eq \f(\r( ,6),3)
C.eq \f(\r( ,7),6) D.eq \f(\r( ,6),6)
(2)(2024·广东湛江模拟)已知F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为eq \f(3,4)的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r( ,5),5) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r( ,3),3) D.eq \f(\r( ,2),2)
解析：(1)设椭圆C的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形．
设|AF|＝m，∵∠ABF＝30°，AF⊥AB，
∴|BF|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，则m＝eq \f(2,3)a.
在△BFF2中，(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cs 120°，
整理得4c2＝eq \f(28,9)a2，即c＝eq \f(\r( ,7),3)a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,7),3).
(2)过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为eq \f(3,4)的直线方程为y＝eq \f(3,4)x－b，即eq \f(3,4)x－y－b＝0，F(c,0)，由点到直线的距离公式，得c＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)c－b)),\r( ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋1))，即c2＝－eq \f(3,2)bc＋b2，即(2c－b)·(c＋2b)＝0，则2c－b＝0，b＝2c.又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,5),5).故选A.
答案：(1)A (2)A
维度2 求离心率的取值范围
典例4已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范
先考虑P位于上(下)顶点时，e＝eq \f(\r(2),2)，假设a不变，将椭圆压扁满足题意，即b变小，c变大，也即e变大．
围是________．
解析：方法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1.
eq \(PF1,\s\up16(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \(PF2,\s\up16(→))＝(c－x0，－y0)，
若∠F1PF2＝90°，则eq \(PF1,\s\up16(→))·eq \(PF2,\s\up16(→))＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－c2＝0.∴xeq \\al(2,0)＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))＝c2，∴xeq \\al(2,0)＝eq \f(a2c2－b2,c2).
∵0≤xeq \\al(2,0)≤a2，∴0≤eq \f(c2－b2,c2)≤1.
利用x0∈[－a，a]，找到关于a，c的不等式．
∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r( ,2),2)≤e0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0