新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第九讲抛物线(一)（含解析）

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一 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
二 抛物线的标准方程与几何性质
常/用/结/论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，α为弦AB的倾斜角，则：
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)；
由抛物线定义得出．
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)；
由(2)得|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,1－cs α1＋cs α)＝eq \f(2p,sin2α).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以弦长AB为直径的圆与准线相切．
1．判断下列结论是否正确．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).()
(4)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B．
答案：B
3．(2024·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
答案：4
4．(2024·福建龙岩模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝________.
解析：设B(x0，y0)．由题意知F(1,0)，以AF为直径的圆为x2＋y2＝1，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x2＋y2＝1，))消去y并整理，得x2＋4x－1＝0.因为x≥0，所以x0＝eq \r( ,5)－2.又由题意，得A(－1,0)，所以eq \(FA,\s\up6(→))＝(－2,0)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝(－2,0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2×(eq \r( ,5)－2)＝6－2eq \r( ,5).
答案：6－2eq \r( ,5)
题型 抛物线定义的应用
典例1 (1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的
联想抛物线的定义，需转化成距离相等．
轨迹方程是( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
(2)(2024·华东师大附中模拟)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0上一动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为________．
解析：(1)依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4,0)的距离相等，所以动点P的轨迹是以M为焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B．
(2)由抛物线C：y2＝4x，可得F(1,0)，准线方程为l：x＝－1.x2＋y2－8x－2y＋16＝0即(x－4)2＋(y－1)2＝1，表示以M(4,1)为圆心，以1为半径的圆．
如图所示，过点P作PA⊥l，垂足为A，连接PM，交圆M于Q，则|PF|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1.【两步转化】从|PF|到|PA|，利用了抛物线的定义，而从|PQ|到|PM|－1，则利用了圆外一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，如此我们便可利用平面几何知识求最值了．
连接AM，则|PA|＋|PM|－1≥|AM|－1，当且仅当A，P，M三点共线时取等号．
过点M作MA1⊥l，垂足为A1，交抛物线于P1，交圆M于Q1，则|AM|－1≥|A1M|－1.
综上，要想得到|PF|＋|PQ|的最小值，则A，P，Q，M四点共线，且所在直线与准线l垂直时|PF|＋|PQ|取最小值，为|A1M|－1＝5－1＝4.故答案为4.
抛物线定义的应用策略
对点练1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图2所示的抛物线C：x2＝－2py(p>0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝eq \f(\r( ,21),2)，则p＝( )
图 1 图 2
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A．eq \f(5,2) B．eq \f(5\r( ,2),2)
C．2 D．eq \r( ,2)
解析：(1)由题意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，设|PF|＝2a，a>0，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r( ,3)a，－\f(p,2)－a))，由抛物线的几何性质知eq \f(p,2)＋a＋eq \f(p,2)＝2a，则a＝p，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r( ,3)p，－\f(3p,2)))，
所以|OP|＝eq \r( ,3p2＋\f(9,4)p2)＝eq \f(\r( ,21),2)，
解得p＝1.故选A．
(2)直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，此时d1＋d2的值最小，最小值为点F到直线x＋y－4＝0的距离．
∵F(－1,0)，
∴(d1＋d2)min＝eq \f(|－1＋0－4|,\r( ,2))＝eq \f(5\r( ,2),2).
答案：(1)A (2)B
题型 抛物线的标准方程
典例2 (1)(2024·江西九所重点中学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(x0,2eq \r( ,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝eq \f(p,2)交于E，G两点．若cs∠MFG＝eq \f(2\r( ,2),3)，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)试分别求满足下列条件的抛物线(顶点在原点，对称轴为坐标轴)的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．
①过点(－3,2)； (－3,2)在第二象限，可知抛物线开口向上或向左．
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
由于是标准方程，则分别令x＝0，y＝0可得焦点为(0，－2)或(4,0)．
(1)解析：如图，作MD⊥EG于D，由M(x0，2eq \r( ,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))在抛物线C上，得8＝2px0，
将∠MFG放在直角三角形中便于运算．
即px0＝4.又C的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
易知|FM|＝x0＋eq \f(p,2)，显然|DM|＝x0－eq \f(p,2).
由焦点联想准线．
因为cs∠MFG＝eq \f(2\r( ,2),3)，所以sin∠MFG＝eq \f(1,3)，因此eq \f(|DM|,|FM|)＝sin∠MFG＝eq \f(1,3)，即eq \f(x0－\f(p,2),x0＋\f(p,2))＝eq \f(1,3)，整理得x0＝p，与px0＝4联立，解得p＝x0＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选C．
(2)解：①设所求抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．
∵抛物线过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝eq \f(2,3)或p＝eq \f(9,4).
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(4,3)x或x2＝eq \f(9,2)y，对应的准线方程分别是x＝eq \f(1,3)，y＝－eq \f(9,8).
②令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
设所求的抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，eq \f(p,2)＝2，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，
对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.
求抛物线标准方程的常用方法
对点练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：(1)∵抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴准线为x＝－eq \f(p,2).
∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－2))＝4.
∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
(2)因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以|PM|＝4，
|MF|＝4，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r( ,m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2)＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线的方程为x2＝4y.
答案：(1)C (2)x2＝4y
题型 抛物线的几何性质
典例3 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝eq \f(8,3)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(方法一：联立，根与系数的关系及定义：|MN|＝ x1＋x2＋p；,方法二：焦半径公式：|MN|＝\f(2p,sin2α)其中α为倾斜角.))
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
(2)(2024·天津南开中学测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点B，满足直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在F，M之间．若|FB|＝2|BM|，且点B
利用抛物线的定义转化成点B到准线的距离．
到抛物线准线的距离为eq \f(4,3)，则点M的纵坐标为( )
A．1 B．eq \r( ,2)
C．eq \f(3,2) D．eq \r( ,3)
(3)(2023·全国乙卷，理)已知点A(1，eq \r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准
可求出p＝eq \f(5,2).
线的距离为________．
解析：(1)A选项：直线y＝－eq \r(3)(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，
所以eq \f(p,2)＝1，p＝2,2p＝4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2＝4x.
B选项：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))
消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，
解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3)，B选项错误；
也可由根与系数的关系求出x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝eq \f(10,3).
C选项：设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝eq \f(1,2)(d1＋d2)＝eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(1,2)|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确；
D选项：不妨设xM＝x1＝3，xN＝x2＝eq \f(1,3)，
点的坐标易求，可直接计算出三角形的三条边，进而作出判断．
所以y1＝－eq \r(3)×(3－1)＝－2eq \r(3)，y2＝－eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1))＝eq \f(2\r(3),3)，
所以|OM|＝eq \r(32＋－2\r(3)2)＝eq \r(21)，|ON|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(13),3)，又|MN|＝eq \f(16,3)，
所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误．
故选AC．
(2)如图，作BB1垂直准线于B1.
由已知得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，由|FB|＝2|BM|，得eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(BM,\s\up6(→))，得B的横坐标xB＝eq \f(p,6)，则|eq \(BB1,\s\up6(→))|＝eq \f(p,6)
关键：将线段相等转化为向量相等，从而根据向量相等求得点B的横坐标．
＋eq \f(p,2)＝eq \f(4,3)，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，xB＝eq \f(1,3)，代入抛物线C的方程得yB＝eq \f(2\r( ,3),3)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2\r( ,3),3))).
又eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(BM,\s\up6(→))，则yM＝eq \f(3,2)yB＝eq \f(3,2)×eq \f(2\r( ,3),3)＝eq \r( ,3).故选D．
(3)由题意可得(eq \r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq \f(5,4)，点A到C的准线的距离为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(9,4).故答案为eq \f(9,4).
抛物线标准方程的求法
求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．
对点练3 (1)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r( ,3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D．若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B．eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
(2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)(2024·江苏盐城四校联考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴的正半轴于点N.若M为FN的中点，则以FN为直径的圆的标准方程为____________．
解析：(1)如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r( ,3)，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，
得p＝4，故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，
则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误．
(2)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
因为P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为eq \f(p,2).
代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p.
不妨设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，
所以Q在F的右侧．
又因为|FQ|＝6，
所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(p,2)，0))，所以eq \(PQ,\s\up6(→))＝(6，－p)．
因为PQ⊥OP，
所以eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(p,2)×6－p2＝0，
因为p>0，所以p＝3，
所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(3)由题意作图，如图所示．
y2＝8x的焦点坐标为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2.
设点M(x,2eq \r( ,2x))，作MP⊥l，且交l于点P，交y轴于点Q，
因为M为FN的中点，MQ∥OF，
所以在△NOF中，MQ为△NOF的中位线，
所以|MQ|＝eq \f(1,2)|OF|＝1，即x＝1，所以点M(1,2eq \r( ,2))，即为圆心坐标．
由抛物线的定义知，|MF|＝|MP|＝x＋2＝3，即圆的半径r＝3，
所以以FN为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2eq \r( ,2))2＝9.
答案：(1)ABC (2)x＝－eq \f(3,2) (3)(x－1)2＋(y－2eq \r( ,2))2＝9
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下