新高考数学一轮复习必刷题专练 大题12　数列的综合问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习必刷题专练 大题12　数列的综合问题（含答案解析），共5页。
(1)求a1，a2，a3，a4；
(2)求数列{an}的前2 024项和S2 024.
2．(2023·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝2，Sn＝eq \f(n,n＋2)an＋1，bn＝eq \f(Sn,n)(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设cn＝eq \f(bn,bn－1bn＋1－1)，数列{cn}的前n项和Tn，求证：eq \f(2,3)≤Tneq \f(Sn,n).
5．(2023·邯郸统考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1(n∈N*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an,n＋1)，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
6．在数列{bn}中，令Tn＝b1b2·…·bn(n∈N*)，若对任意正整数n，Tn总为数列{bn}中的项，则称数列{bn}是“前n项之积封闭数列”．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)判断：当a1＝2，q＝3时，数列{an}是否为“前n项之积封闭数列”；
(2)证明：a1＝1是数列{an}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
必刷大题12 数列的综合问题
1．解 (1)因为数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，
所以a1＝－1，a2＝3，a3＝－5，a4＝7.
(2)由an＝(－1)n(2n－1)，
可得当n为奇数时，an＋an＋1＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝2，
所以S2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)
＝2＋2＋…＋2＝2×1 012＝2 024.
2．(1)解 因为Sn＝eq \f(n,n＋2)an＋1，
所以(n＋2)Sn＝nan＋1，
因为an＋1＝Sn＋1－Sn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以eq \f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq \f(Sn,n)(n∈N*)．
即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以bn＝2n.
(2)证明 cn＝eq \f(bn,bn－1bn＋1－1)
＝eq \f(2n,2n－12n＋1－1)
＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)，
故数列{cn}的前n项和Tn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22－1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22－1)－\f(1,23－1)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1)))
＝1－eq \f(1,2n＋1－1)，
因为n∈N*，
所以0n＋2，
即证1>eq \f(2,n＋1)＋eq \f(2,n＋2)，
易知eq \f(2,n＋1)＋eq \f(2,n＋2)是一个递减数列，
故当n＝3时，其最大值为eq \f(2,4)＋eq \f(2,5)＝eq \f(9,10)