新高考数学三轮复习考前冲刺练习12 数列大题综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮复习考前冲刺练习12 数列大题综合（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮复习考前冲刺练习12数列大题综合原卷版doc、新高考数学三轮复习考前冲刺练习12数列大题综合解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）在数列中，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)96
【分析】（1）由已知条件可得，当为奇数时，数列的奇数项的通项公式为，当为偶数时，即数列的偶数项的通项公式为；
（2）分别讨论当为奇数或偶数，得出数列各项的值或大小，从而求得的最大值.
【详解】（1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，.
当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，.
所以.
（2）当为奇数时，，
即，，都大于0，，，
当为偶数时，，
即，，，都大于，，，
所以的最大值为.
2．（2023·广东广州·统考二模）设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，
（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.
【详解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）当时，，
当时，，
两式相加可得，得，
由于，所以

3．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知数列为等差数列，，；为等比数列，其前n项和.
(1)求，的通项公式；
(2)，求的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把，基本量化，从而可求得；利用和与项的关系可求解；
（2）求得，从而裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为
则解得，
，（）
，（）
满足，
（2）因为，
所以.
4．（2023·江苏常州·校考二模）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式可求数列的通项公式，再根据数列的项与前n项和的关系可求的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）记，
，
.
5．（2023·湖北·统考二模）设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件以及消去，结合等比数列的定义可得答案；
（2）先求出的通项公式，得到的通项公式，利用裂项相消法可求答案.
【详解】（1）证明：∵，且，
∴，
∴，
∴，令，可得，
∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，
∴，
∴；
∴
；
∴.
6．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由题意分析出数列是等差数列，通过等差数列通项公式求解即可；（2）通过等差数列前项和求和公式求解即可.
【详解】（1），，．
因为，所以，
所以数列是等差数列，所以．
（2）因为当为奇数时，，
所以的前20项和为
．
7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【分析】（1）利用以及等差数列的定义证得结论成立.
（2）先求得，利用裂项求和法求得，进而证得.
【详解】（1）依题意，，
当时，；
当时，由得，
两式相减并化简得，
则，两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是等差数列；
（2）设等差数列的公差为，依题意，，
所以，解得，所以.
，
所以
.
8．（2023·湖南·校联考二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列的递推关系，利用作差法构造等比数列，进而求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后利用错位相减法得到，然后根据题意即可求解.
【详解】（1）∵，
∴，
两式作差得，∴，
当时，，∴，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）∵，∴，
∴，①
，②
两式作差得，
化简得，
∵恒成立，∴，，
当时，；
当时，；
当时，，，所以，
综上所述，．
9．（2023·广东湛江·统考二模）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式；
（2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解.
【详解】（1）由，得，
由，得， ，因为是正项数列，，
；
（2） ，
则当时，，
所以，
两式相减得
，
即，
因为满足，
所以.
10．（2023·广东·统考模拟预测）已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)，数列满足，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意，设等差数列的公差为，根据题意可得出关于的等式，解出的值，可得出数列的通项公式，求出等比数列的公比，可求得的通项公式；
（2）分、求出数列的通项公式，然后分、求出，综合可得出的表达式.
【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
因为数列为等比数列，则，即，
因为，解得，.
又因为，，所以，等比数列的公比为，
因此，.
（2）解：由，①
可得，所以，，
当时，，②
①②得，所以，，
不满足，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，
综上所述，对任意的，.
11．（2023·浙江台州·统考二模）已知数列，满足：，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；
（2）由（1）知，
又因为，
所以数列为常数列.
若选条件①或③，均可得，
所以，所以.
若选②，因为，所以，又因为，
所以，所以，所以，所以.
12．（2023·山西·统考二模）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
条件①：；条件②：.
注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）应用等差等比的通项公式计算求解即可；
（2）错位相减法求和可得.
【详解】（1）设的公比为，的公差为，
由题意可得解得或（舍去），，
，；
（2）由（1）得，
选择条件①：，则.
，①
，②
①-②得，
.
选择条件②：，则.
，①
，②
① -②得，
13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）选择条件①：可得是首项为4，公差为3的等差数列，即可求出数列的通项公式；选择条件②：当时，，两式相减，即可得出答案；
（2）选择条件①：假设存在满足题意的正整数m，则有，即，即，由二次函数的性质即可求出m的最小值；
选择条件②：分和两种情况，再结合二次函数的性质即可求出m的最小值；
【详解】（1）选择条件①：
由，，得是首项为4，公差为3的等差数列，
则，又，所以．
选择条件②：
由，可得当时，，
又当时，不满足上式，所以
（2）选择条件①：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，
则有，即，
即
因为且，，
所以当时，．
所以存在正整数m，使得，，成等比数列，m的最小值为8
选择条件②：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，则有，
当时，有，即，此时n无正整数解，
当时，，即．
因为，所以不可能为正整数，
所以不存在正整数m，使得，，成等比数列
14．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 三个条件中选①或②作差可得通项,选③作商可得通项；
(2) 当时，，，根据分段可得40项和.
【详解】（1）选①：∵，时，，
∴两式相减得，即，又当n=1时，，
∴，满足上式，∴；
选②：当n=1时，，∴，
∵，时，，
∴两式相减得，
数列是以2为首项2为公比的等比数列，
∴；
选③∵，时，，
∴两式相除得，当n=1时，，满足上式，∴；
（2）因为当时，，，
所以当时，，
当时，，
当时，.
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
15．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知数列，，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到数列为常数列，再求通项即可；
（2） 由（1）及分组求和法先得，再利用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以数列为常数列，所以．
即所求数列的通项公式为．
（2）由（1）及题设得，
，
所以，
所以．
16．（2023·辽宁·校联考二模）已知数列是各项为正的等比数列，满足，．数列的前n项和为且满足，，对任意恒成立．
(1)求，的通项公式；
(2)数列满足，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）运用等比数列通项公式基本量计算可得数列的通项公式，进而求得的通项公式，运用与的关系求得的通项公式.
（2）运用放缩法及错位相减法求和可证明结果.
【详解】（1）因为数列是各项为正的等比数列，设公比为q，
又因为，
所以，即：，
解得或（舍），
所以，即：．
因为，，
①当时，，解得：，
②当时，因为，
所以，
两式作差可得：，即：，
所以从第二项起是常数数列，
所以，
所以（），
③将代入得，符合，
所以.
（2）证明：因为，
所以，
设，
则，
两式相减得：，
所以．
17．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．
(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；
(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，求得，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围；
（2）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由于，
所以，解得，
所以，
若数列为单调递减数列，则对于恒成立，
所以在上恒成立，
则，所以，又数列为递增数列，所以，即，
故的取值范围为；
（2）若，则，
根据题意数列为：
第一组为：1，；
第二组为：，，；
第三组为：，，，；
……
第组为：，，，，…，；
则前组一共有项，当时，项数为.
故相当于是前组的和再加上这五项，即：
设，则可看成是数列的前项和
所以.
18．（2023·福建·统考模拟预测）已知等差数列，等比数列，满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求满足的最小的正整数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)8
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可；
（2）化简，由，分析满足条件的最小的正整数的值即可．
【详解】（1）设公差为，由．
当时，不符合题意，舍去；
故，所以，；
（2）由题意，可得，
所以，
由，又，
所以当时，，
当时，，
故的最小值为8．
19．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．
(1)求和；
(2)若，，求的前项和．
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）根据条件列方程组求解；
（2）可求得，使用分组求和.
【详解】（1）由已知条件可得:
①，②，③，
由①②消去得:，
由①③得:，
所以，得或，
所以或.
（2）当时，，则，
所以，
所以
，
的前项和为



20．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据递推公式计算为一个常数，即可得证；
（2）由（1）可得，即可表示出，再计算，依题意可得恒成立，即恒成立，分为奇数、偶数两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）证明：因为且，
所以
，
又，所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得，
存在，理由如下：，，
则，
若对任意的，都有，则等价于恒成立，
即恒成立，
因为，当n为偶数时，，则，
当n为奇数时，时，则，
综上，存在，使得对任意的，都有.