新高考数学一轮复习必刷题专练 大题9　解三角形（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习必刷题专练 大题9　解三角形（含答案解析），共5页。
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
2．(2024·唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，acs C＋eq \f(\r(3),3)asin C＝b.
(1)求A；
(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝eq \f(\r(2),3)，求△ABC的周长．
3．(2023·烟台联考)已知在平面四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝eq \r(3)AD，∠BAD＝2∠BCD.
(1)求∠ABC；
(2)若CD＝4，∠ABD＝∠ADB，求四边形ABCD的面积．
4．(2023·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acs C－b)＝eq \r(3)csin A.
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2eq \r(3)，D为BC边上一点，且BD＝2CD.求AD的最小值．
5．已知在非钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝eq \f(π,4)；②a＝4；③c＝4eq \r(2)；④sin C＝eq \f(1,4).
(1)指出这三个条件，并说明理由；
(2)求边长b和三角形的面积S△ABC.
6．(2024·长春模拟)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcs C＋ccs B＝6.
(1)求边长a；
(2)若△ABC是锐角三角形，且________，求△ABC的面积S的取值范围．
要求：从①A＝eq \f(π,4)；②b＋c＝10这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
必刷大题9 解三角形
1．解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cs 120°＝7，
则BC＝eq \r(7)，
由正弦定理可得sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(1×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq \f(\r(21),14).
(2)由三角形面积公式可得
eq \f(S△ABD,S△ACD)＝eq \f(\f(1,2)AB·ADsin 90°,\f(1,2)AC·ADsin 30°)＝4，
则S△ACD＝eq \f(1,5)S△ABC
＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1×sin 120°))
＝eq \f(\r(3),10).
2．解 (1)由正弦定理得sin Acs C＋eq \f(\r(3),3)sin Asin C＝sin B，
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin Ccs A，
则eq \f(\r(3),3)sin Asin C＝sin Ccs A，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
∴tan A＝eq \r(3)，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)依题意得
S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin∠BAC＝eq \f(1,2)AD·csin∠BAD＋eq \f(1,2)AD·b·sin∠CAD，
即eq \r(3)bc＝eq \f(\r(2),3)(b＋c)，
由余弦定理得4＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－eq \f(\r(2),\r(3))(b＋c)＝4，
解得b＋c＝eq \r(6)，
∴△ABC的周长为eq \r(6)＋2.
3．解 (1)如图，在△ABD中，由正弦定理可得
eq \f(BD,sin∠BAD)＝eq \f(AD,sin∠ABD)，
在△BCD中，由正弦定理可得
eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(BC,sin∠BDC).
因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，
所以eq \f(sin∠BAD,sin∠BCD)＝eq \f(BC,AD).
而BC＝eq \r(3)AD，∠BAD＝2∠BCD，
故eq \f(sin 2∠BCD,sin∠BCD)＝eq \r(3)，
又sin 2∠BCD＝2sin∠BCDcs∠BCD，
所以cs∠BCD＝eq \f(\r(3),2).
因为0°