新高考数学一轮复习必刷题专练 大题18　统计与统计分析（含答案解析）

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一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为代表)．
2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的2×2列联表：
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否能依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
3．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.
(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差．
4．(2023·淄博模拟)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示：
其中eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝708.
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋deq \r(x)模型拟合得到的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq \r(x)，经计算(1)中的回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润eq \(z,\s\up6(^))＝200y－x的预报值最大？
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：
零假设为H0：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的eq \f(1,10)，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；
(2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
6．(2023·泰安模拟)近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w(万辆)如表所示，其中2018年～2022年对应的年份代码t为1～5.
(1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数(精确到0.001)；
(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(随机误差ei＝yi－bxi)，请写出参数b的最小二乘估计；
②令变量x＝t－eq \x\t(t)，y＝w－eq \x\t(w)，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2，))利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w),\r(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)\r(\i\su(i＝1,n, )wi－\x\t(w)2))，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(wi－eq \x\t(w))＝51，eq \i\su(i＝1,5, )(wi－eq \x\t(w))2＝262，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))2＝10，eq \r(655)≈25.6.
必刷大题18 统计与统计分析
1．解 (1)由样本的频率分布直方图可知，在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为eq \f(70＋80,2)＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．解 (1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P1＝eq \f(20,20＋30)＝eq \f(2,5)，
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
P2＝eq \f(10,10＋60)＝eq \f(1,7).
(2)列联表如表所示：
零假设为H0：密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗无关．
则χ2＝eq \f(120×20×60－10×302,30×90×50×70)≈10.286>6.635＝x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
3．解 (1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，
所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名中第六名与第七名数据的平均数，即eq \f(28＋32,2)＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq \x\t(x)，方差记为seq \\al(2,x)；
把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为eq \x\t(y)，方差记为seq \\al(2,y)；
把总样本数据的平均数记为eq \x\t(z)，方差记为s2.
由题意可知，eq \x\t(z)＝eq \f(510,30)＝17，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝eq \f(1,10)×330＝33，
则eq \x\t(x)＝eq \f(1,20)×(510－330)＝9，
由题知seq \\al(2,x)＝44.7，seq \\al(2,y)＝92.4，
s2＝eq \f(1,30)×{20[seq \\al(2,x)＋(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2]＋
10[seq \\al(2,y)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]}
代入数据可得s2＝eq \f(1,30)×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，
所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
4．解 (1)由题意可得
eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋4＋6＋11＋13＋19,7)＝8，
eq \x\t(y)＝eq \f(1.9＋3.2＋4.0＋4.4＋5.2＋5.3＋5.4,7)＝4.2，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,7,x)\\al(2,i)－7\x\t(x)2)
＝eq \f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，
y关于x的经验回归方程为
eq \(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.
(2)因为0.75