2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第六章必刷大题12数列的综合问题（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第六章必刷大题12数列的综合问题（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了已知数列{an}满足，定义矩阵运算等内容，欢迎下载使用。
1.(13分)(2024·咸阳模拟)已知正项数列{an}满足a12+a22+…+an2=n(n+1)2，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若cn=1an+1an2，求数列{cn}的前n项和Sn.(7分)
2.(15分)(2024·三明模拟)已知数列{an}满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1-2an.
(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(7分)
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和Tn.(8分)
3.(15分)(2025·南京模拟)已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2=3，a1，a3，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；(7分)
(2)定义在数列{an}中，使lg3(an+1)为整数的an叫做“调和数”，求在区间[1，2 025]内所有“调和数”之和Tn.(8分)
4.(17分)(2024·孝感模拟)定义矩阵运算：a bc dxy=ax+bycx+dy.已知数列{an}，{bn}满足a1=1，且n 11 nanbn= n2+2nn(2n+1).
(1)证明：数列{an}，{bn}分别为等差数列，等比数列；(8分)
(2)求数列{a2n+3b2n-1+1}的前n项和Sn.(9分)
答案精析
1.解 (1)因为a12+a22+…+an2＝n(n+1)2(n∈N*)，①
当n＝1时，a12＝1；
当n≥2时，a12+a22+…+an-12＝n(n-1)2，②
①－②得an2＝n(n+1)2－n(n-1)2＝n(n≥2)，
又因为a12＝1符合上式，所以an2＝n，
因为an>0，所以an＝n.
(2)由an＝n，可得cn＝1an+1an2＝1n(n+1)＝1n－1n+1，
则Sn＝c1+c2+c3+…+cn
＝1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1
＝1－1n+1＝nn+1.
2.解 (1)因为an+2＝3an+1－2an，
所以an+2－an+1＝2(an+1－an)，
又因为a1＝2，a2＝4，
所以a2－a1＝2≠0，
所以an+2-an+1an+1-an＝2，
所以数列{an+1－an}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以an+1－an＝2×2n－1＝2n，
当n≥2时，an＝(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1＝2n－1+2n－2+…+21+2
＝2(1-2n-1)1-2+2＝2n，
当n＝1时，a1＝2也满足上式，
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题意可知an+1－an
＝(n+2－1)dn，
所以(n+1)dn＝an+1－an＝2n，
所以1dn＝n+12n，
所以Tn＝221+322+423+…+n+12n，①
将①式两边同时乘以12，得12Tn＝222+323+424+…+n+12n+1，②
①－②得12Tn＝1+122+123+124+…+12n－n+12n+1
＝1+141-12n-11-12－n+12n+1
＝32－n+32n+1，
所以Tn＝3－n+32n，
故数列1dn的前n项和Tn＝3－n+32n.
3.解 (1)因为a1，a3，a7成等比数列，
所以a32＝a1a7，
因为{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，
设其公差为d，d≠0，
所以a2＝a1+d＝3,(a1+2d)2＝a1(a1+6d),
所以a1＝2,d＝1,
所以an＝a1+(n－1)d＝n+1.
(2)设b＝lg3(an+1)，
且b为整数，
所以an＝3b－1，
所以1≤3b－1≤2 025，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，
所以在区间[1，2 025]内所有“调和数”之和
Tn＝(31－1)+(32－1)+(33－1)+(34－1)+(35－1)+(36－1)
＝(31+32+33+34+35+36)－6
＝3×(1-36)1-3－6
＝1 086.
4.(1)证明 因为n 11 nanbn
＝nan+bnan+nbn，
所以nan+bn＝n2+2n,an+nbn＝n(2n+1),
消去an，得(n2－1)bn＝(n2－1)2n，
当n≥2时，bn＝2n，则an＝n；
当n＝1时，由nan+bn＝n2+2n及a1＝1，得b1＝2＝21，
所以an＝n，bn＝2n(n∈N*)，
因为an+1－an＝1，bn+1bn＝2，
所以数列{an}为公差为1的等差数列，{bn}为公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)知a2n+3b2n－1+1＝2n+1+3×22n－1＝2n+1+32×4n，
则Sn＝(3+5+…+2n+1)+32×(41+42+…+4n)＝(3+2n+1)n2+32×4(1-4n)1-4＝22n+1+n2+2n－2.