新高考数学二轮专题分层精练第19课 三角函数的图形与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第19课 三角函数的图形与性质（2份，原卷版+解析版），共8页。
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）函数的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由定义得到的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除BC；
又，故A正确，D错误.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
【答案】D
【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知，于是，于是，
∴，∴，∴，
对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后得，
则，所以不关于原点对称，故B错误；
对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
4．（2023秋·北京·高三校考开学考试）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
【答案】C
【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.
【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，
且，
而，即函数为偶函数；
所以，又，
即，可得函数最小值为0，无最大值.
故选：C
二、多选题
5．（2023秋·湖北恩施·高三校联考期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．在上是减函数B．
C．是奇函数D．在上有4个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，代入检验，得到在上单调递减，A正确；
B选项，计算出，，两者不一定相等，
C选项，根据函数平移变换求出，故C正确；
D选项，令，得到，求出上，或或或，共4个零点，D正确.
【详解】时，，由于在上单调递减，故在上单调递减，A正确；
，，
因为，
由于与不一定相等，
故与不一定相等，B错误；
，故是奇函数，C正确；
令，解得：，
，则，则或或或，
解得：或或或，共4个零点，D正确.
故选：ACD
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过往复运动一次
C．时小球是自下往上运动
D．当时，小球到达最低点
【答案】BD
【分析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为，所以选项A错误；
因为，所以小球经过往复运动一次，因此选项B正确；
当时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当时，，所以选项D正确，
故选：BD
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在上单调函数，则的最大值是 .
【答案】4
【分析】化简函数得到，然后由余弦函数的单调性求得的范围，得最大值．
【详解】由题可得，
由，得，
令，得，
故在单调，于是，得，
所以的最大值是4，
故答案为：4．
9．（2022·全国·高三专题练习）函数，当y取最大值时，x的取值集合是 ．
【答案】．
【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求解．
【详解】，又，
所以时，，此时．
故答案为：．
四、解答题
10．（2023·上海奉贤·统考一模）已知为奇函数，其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据，求出，与然后再求解.
【详解】（1）因为为奇函数，
所以，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是；
（2）若
所以
【二层练综合】
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
二、多选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为函数的一个周期B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上为减函数D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】计算可判断A;计算可判断B;将化简为，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】因为，
所以为函数的一个周期，故A正确；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
因为，所以，故，
由于，故在上为增函数，故C错误；
由C的分析可知在上为增函数，所以，
故D正确，
故选：ABD．
三、填空题
3．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为 ．
【答案】1
【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出，得到，进而求出的范围，进而可求出的范围.
【详解】因为直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴，∴，∴．由，得，∴在上单调递增，故，解得，又，∴m的最大值为1．
故答案为：1
四、解答题
4．（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；
（2）由正弦定理及正弦的两角差将问题转化为求的范围，再利用2倍角公式化为即可求解.
【详解】（1）因为，
所以,
因为，
，
因为.
（2）由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
二、填空题
2．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，故为偶函数，当时，，画出在上的图象如图所示，
要想保证方程在上有三个不同的实根，则，
故答案为：