新高考数学二轮专题分层精练第18课 三角函数的诱导公式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第18课 三角函数的诱导公式（2份，原卷版+解析版），共8页。
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由诱导公式求出的值，再利用拆分角求得结果.
【详解】由，
得.
故选：C.
2．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
3．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平方关系计算出，再由诱导公式得出答案.
【详解】由为锐角得，所以，
.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若是纯虚数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义可得，，即可求出，再根据诱导公式即可求出.
【详解】是纯虚数，
，且，
即且，即，
则，则.
故选：C.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）下列各式的值为的是（ ）.
A．sinB．sincs
C．D．
【答案】AD
【分析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意，
故选：AD
6．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．对任意，都有D．函数的最小值为-3
【答案】BCD
【解析】A.根据的周期分别是判断；B.由 是否为零判断；C.利用诱导公式判断；D.由 的值判断.
【详解】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；
B.因为 ，故正确；
C. ，故正确；
D. ,故正确；
故选：BCD
7．（2023·安徽黄山·统考二模）若，则的值可能是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】CD
【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出或，再利用的周期，化简，从而求出结果.
【详解】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即，解得或，
当时，，
当时，
所以，当时，或，
当时，或，
故选：CD.
三、填空题
8．（2023春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知为锐角，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.
【详解】因为为锐角，且，则，
因此，.
故答案为：.
9．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图中，已知点在边上，，，，，则的长为
【答案】
【分析】通过诱导公式易知，利用余弦定理计算即得结论．
【详解】解：，，
，
又，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
四、解答题
10．（2022·浙江·高三专题练习）设函数.
(1)求函数单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)是单调递增区间
(2)最小值为，最大值是
【分析】(1)通过恒等变换将原函数变成单一的三角函数即可判断；
(2)将原函数通过辅助角公式转化为单一的三角函数，
在指定区间判断其单调性即可求出其值域.
(1)
，
当 ，即时是单调递增区间；
(2)
，
因为，所以，
所以当时单调递减，当时单调递增，
，
最大值在区间的两个端点中的一个， ， ，
故最小值为，大值是；
综上，的单调递增区间为，
的最大值为，最小值为.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式求得，结合角的范围，可求得，再利用诱导公式化简，即可求得答案.
【详解】因为，，所以，解得，
所以，，
所以,
故选:D
二、多选题
2．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）已知函数（ ）
A．为的周期
B．对于任意，函数都满足
C．函数在上单调递减
D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
【详解】A.，即，所以为的周期，故A正确；
B.，，所以，故B正确；
C.当时，，此时，而 ，故C正确；
D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，
当时，，，
，即，
当时，，，
，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为锐角，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解.
【详解】因为，，且，均为锐角，
所以，，
所以.
故答案为：
四、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即有，而，，即，，
因此，，
所以．
（2）令边上的高为，
由，得，
由（1）知，，即，则，
所以边上的高的取值范围是.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在上有两个极值点
D．设，则满足的正整数的最小值是
【答案】ABD
【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项的正误；验证、时，是否成立，由此可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，，，
，所以，函数在是增函数，A选项正确；
对于B选项，令，该函数的定义域为，
，
，
则，
所以，函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，当时，，且，
所以，函数在内无极值点；
，
①当时，，，则，
则，，此时，，
所以，函数在上单调递减，
，，
所以，函数在上只有一个极值点；
②当时，，，
所以，，，则，
所以，，则，
所以，函数在上没有极值点.
综上所述，函数在上只有一个极值点，C选项错误；
对于D选项，.
当时，，，不成立；
当时，，
当时，，，
，，，则，
所以，，
所以，满足的正整数的最小值是，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；
（3）下结论.
二、填空题
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列中，，则数列的前100项之和 ．
【答案】10200
【详解】因为，所以


同理可得：
,
的前100项之和.
故答案为 .
点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.