新高考数学二轮专题分层精练第01课 集合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第01课 集合（2份，原卷版+解析版），共8页。

一、单选题
1．（2023·天津·三模）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．0B．0或C．0或2D．2
4．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·高一课时练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
7．（2012·全国·高考真题）已知集合,则中所含元素的个数为
A．B．C．D．
8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则有（ ）个真子集.
A．3B．16C．15D．4
11．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）集合，则集合的子集的个数为( )
A．7B．8C．15D．16
12．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2021秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）若集合，，且，则（ ）
A．0B．1C．D．0或1
14．（2022·高一单元测试）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1），；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
15．（2023·全国·高三专题练习）若非空集合满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022秋·安徽·高一安徽省怀宁县新安中学校联考期末）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若，则
18．（2023·全国·高三专题练习）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则实数的取值范围为
B．存在，使
C．无论取何值，都有
D．的最大值为
19．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
20．（2021秋·高一课时练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．的真子集个数是7
三、填空题
21．（2020·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，则A∩B中元素的个数为 ．
22．（2020春·江苏南京·高三南京师范大学附属扬子中学校考开学考试）已知集合，，若，则 ．
23．（2010·重庆·高考真题）设集合，集合，若，则实数_____.
24．（2015·湖南·高考真题）已知集合U=，A=,B=,则A（）= .
25．（2020·江苏·校联考一模）若，，则下图中阴影表示的集合为 .
26．（2023·江苏·高一假期作业）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2014·上海·高考真题）已知互异的复数满足，集合={,},则= （ ）
A．2B．1C．0D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：① ；②；③；④，正确的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则
其中正确命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
4．（2019秋·黑龙江绥化·高一阶段练习）已知集合只有一个元素，则a的值为 （ ）
A．0B．1C．0或1D．—1
5．（2023春·河南·高二信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知集合，则的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
8．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2008·江西·高考真题）定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）
A．0B．2C．3D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
11．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）设集合，，则的子集个数为
A．4B．8C．16D．32
13．（2023春·江苏徐州·高二校考期末）已知集合,，则
A．B．C．D．
14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
15．（2023·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2023·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（2021·高一课时练习）若集合，，则正确的结论有（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
19．（2023·全国·高一假期作业）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
20．（2020·江苏·高三专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
21．（2011·河北石家庄·统考一模）已知，则A B(用填空)．
22．（2023·上海金山·统考一模）若集合，，且，则实数的取值范围是 .
23．（2001·全国·高考真题）设集合，，则的元素个数为 个．
24．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知集合，，，则实数的取值范围是 .
25．（2020·北京丰台·统考一模）如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：
①对，变换：求集合A的补集；
②对任意，变换：求z的共轭复数；
③对任意，变换：（k，b均为非零实数）.
其中是“回归”变换的是 .
【三层练能力】
一、单选题
1．（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
2．（2011·福建·高考真题）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②﹣3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
3．（2022·江苏·高一期中）设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（ ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合、、，若，，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则
三、填空题
5．（2020秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知集合，若则实数的取值范围是 ．
6．（2010·湖南·高考真题）若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则
（1）是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______
【一层练基础】参考答案
1．D
【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】解：，，
，，，，
故选：．
2．D
【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
3．C
【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.
【详解】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，
∴，∴或2.
故选：C
【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.
4．B
【详解】由题意知，，
则x的可能取值为5,6,7,8.
因此集合M共有4个元素，故选B.
【考点定位】集合的概念
5．D
【分析】根据求解即可
【详解】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
6．C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
【详解】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
7．D
【详解】列举法得出集合，共含个元素．
故答案选
8．A
【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可.
【详解】,
则,
故选：A
9．C
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
10．A
【分析】计算，得到真子集个数.
【详解】，，则，
真子集个数为.
故选：A
11．B
【分析】解分式不等式化简集合A，根据集合A元素个数确定其子集个数.
【详解】由，可得，且解得又,可得
∴集合A的子集的个数为
【点睛】本题考查分式不等式、集合子集等概念，计算集合A元素个数时，要注意这一条件的应用.
12．D
【分析】根据交集的结果可知，结合韦恩图即可判断各选项的正误.
【详解】由知：，即A错误，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确.
故选：D.
13．A
【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值.
【详解】，，或1，
显然，.
故选：A.
【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题.
14．B
【分析】根据集合中元素个数分类讨论．
【详解】中元素个数不能为0，否则有4个元素，不合题意，
中元素个数不能为2，否则中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，
中元素个数只能是1或3，因此有或．共2对．
故选：B．
15．BC
【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
16．ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
17．ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】由已知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
18．ACD
【分析】对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.
故选：ACD
19．BC
【分析】根据题意,作出Venn图，结合图形即可得答案.
【详解】依题意，作出Venn图如图所示，
由图知，，，，.
故选：BC.
20．ACD
【分析】求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
21．1
【解析】按照交集的概念直接运算可得A∩B＝{﹣1}，即可得解.
【详解】∵A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，
∴A∩B＝{﹣1}，
∴A∩B中元素的个数为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
22．{4}
【详解】试题分析：a=3，则B={3，4}，所以；
考点：1．集合的运算；
23．-3
【详解】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3.
24．{1，2，3}.
【详解】由题={2}，所以A（）={1，2，3}.
考点：集合的运算
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．
25．
【分析】根据韦恩图表示的是，再利用交集的定义计算即可.
【详解】解：韦恩图表示的是，由，，则.
故答案为：
【点睛】本题考查交集的运算，韦恩图的应用，属于基础题.
26．②④.
【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：①，③，因此①③都不是；②④满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②④是，从而得到答案.
【详解】①；而，故①不是集合X上的拓扑的集合；
②，满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②是集合X上的拓扑的集合；
③；而，故③不是集合X上的拓扑的集合；
④.满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此④是集合X上的拓扑的集合；
故答案为②④.
【点睛】本题主要考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高，此题是基础题.
【二层练综合】参考答案
1．D
【详解】由题意或，因为，，，因此．选D.
【考点】集合的相等，解复数方程．
2．C
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.
【详解】对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④， ，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，
故选:C.
3．D
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
4．C
【详解】因为集合只有一个元素，
所以或或，选C.
5．A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
6．B
【分析】先化简集合,求出即得解.
【详解】解：
所以，所以的元素个数为2.
故选：B.
7．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
8．C
【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.
【详解】，，
,
故选：C
9．D
【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．
考点：元素的互异
点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍
10．C
【分析】由椭圆的性质得，再列举出集合的元素即得解.
【详解】解：由椭圆的性质得，
又,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
11．A
【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.
【详解】解：集合的非空子集有共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，
因为，
当时，则可为共3种，
当时，共1种，
同理当时，则可为共3种，
当时，共1种，
则符合的共有种，
所以的概率为.
故选：A.
12．C
【详解】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数
详解：，

的子集个数为
故选C.
点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.
13．C
【分析】由绝对值和指数函数的性质求出集合M，N，再判断．
【详解】由题意，∴，，∴．
故选C．
【点睛】本题考查集合间的关系，掌握指数函数与绝对值的性质是解题关键．注意指数函数的值域．
14．D
【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
15．D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.
16．ABD
【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于C，，，C错误；
对于BD，，，
，，BD正确.
故选：ABD.
17．AB
【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】由，
又，
显然集合
所以，
则成立，所以选项A正确.
成立，所以选项B正确，选项D不正确.
，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
18．AB
【解析】化简集合A,B，即得解.
【详解】，，
所以，，或，
故选:AB
【点睛】易错点睛：化简集合A时，容易漏掉函数的定义域，导致得到，导致后面运算出错，所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则.
19．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
20．.
【分析】首先求得，然后利用集合之间的包含关系得到关于m的不等式，求解不等式即可确定m的取值范围.
【详解】由题意可得：，
据此结合题意可得：，即，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．
【分析】由题意首先确定集合B，注意到集合B中的元素都是集合A的子集，然后确定集合B，从而确定最终答案.
【详解】由题意可得：集合B中的元素都是集合形式，即集合B是集合的集合，
题中集合B中的元素都是集合A的子集，
又因为，
所以的子集有4个，
所以用列举法表示集合，
所以集合是集合中的一个元素,
故答案为：∈.
22．
【分析】化简集合，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合表示以为圆心，为半径的圆及其圆内的点，而，即表示该圆与阴影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题.
【详解】因为，
所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，如图所示，
，
其中由，解得或，
当时，B表示点或，
当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点，
其圆心在直线上，
依题意，即表示圆应与阴影部分相切或者相交，
当时，显然满足题意，当时，不满足题意，
当时，因为，
所以，即，
所以，
所以；
当时，因为，
所以，即，
所以，无解；
综上，头数的取值范围足.
故答案为：
23．1
【分析】解对数方程确定集合，由余弦函数性质确定集合，求出后可得．
【详解】∵，∴，解得或，∴，
，
∴，其中元素个数为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查求集合交集中元素个数，求出交集是基本方法，还考查了对数方程，余弦函数的性质，属于中档题．
24．
【分析】根据知，,即可分与两种情况求解.
【详解】因为，
所以，
当时，即，解得.
当时，则，解得.
综上，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了并集，子集的概念，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
25．①②
【解析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.
【详解】对①，集合的补集为集合，集合的补集为集合，故①为“回归”变换
对②，设，，复数的共轭复数为，复数的共轭复数为，故②为“回归”变换
对③，当时，，，由于k，b均为非零实数，则不一定为，则③不是“回归”变换
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.
【三层练能力】参考答案
1．C
【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】由为R上的奇函数,
①，
又 ②，
由②－①为周期为2的周期函数,
而又，
当时当时,．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合中的元素个数为13．
故选：C．
2．C
【详解】试题分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，
对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．
解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；
②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴对﹣3∉[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④对．
∴正确结论的个数是3．
故选C．
点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．
3．ABD
【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
4．ABD
【分析】利用对应关系结合充分必要条件的定义可判断A选项的正误；利用等势的定义可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；数形结合可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设有限集合，，
充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，
则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.
必要性：若，即集合、的元素个数相等，
可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；
对于B选项，对三个无限集合、、，
若，对任意的，存在唯一的，使得与对应，
又因为，则存在唯一的，使得与对应，
故对任意的，存在唯一的，使得与对应，故，B对；
对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：
假设正整数集与正实数集等势，则存在与的一个一一对应，将与中对应的元素记为，
则中的元素可以排成一列：、、、、，显然中至少有一个单位长度的区间不包含，
不妨设此区间为，将三等分，则、中至少有一个区间不含，以表示此区间，
将三等分，其左、右两个区间至少有一个不含，记为，
依此类推，可得一列闭区间满足：
（i），且的长度趋于；
（ii），、、、.
所以，，但对任意的，，换言之，不在中，这是不可能的，
这一矛盾说明，与不等势，C错；
对于D选项，如下图所示：
球面方程为，球面与轴的正半轴交于点，
对于球面上任意一点（不与点重合），设直线交平面于点，
则球面上的点（不与点重合）与平面内的点能建立一一对应关系，
假定在平面上有一理想的点称之为无穷远点，它与点对应，这样，D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义，充分理解等势的定义，结合代数式法以及数形结合找到对应关系是解题的关键，在判断选项错误时，可充分利用反证法来进行推理.
5．
【详解】试题分析：由,又因为,则由数轴得,即.
考点：1.对数不等式;2.集合运算
6．5，
【详解】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；
（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；
又因为，，所以E的第211个子集包含，
此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；
故E的第211个子集是．故第二空应填．