第15讲 单调性问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第15讲 单调性问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共10页。
1.单调性基础问题 PAGEREF _Tc232489187 \h 2
2.讨论单调区间问题 PAGEREF _Tc232489188 \h 2
类型一:不含参数单调性讨论 PAGEREF _Tc232489189 \h 2
类型二:含参数单调性讨论 PAGEREF _Tc232489190 \h 3
三、典题精练 PAGEREF _Tc232489191 \h 4
考点一：导函数与原函数图象及性质的关系 PAGEREF _Tc232489192 \h 4
考点二：不含参函数的单调性分析与应用 PAGEREF _Tc232489193 \h 6
考点三：已知函数单调性求参数范围 PAGEREF _Tc232489194 \h 7
考点四：含参函数的单调性讨论 PAGEREF _Tc232489195 \h 8
四、高考真题 PAGEREF _Tc232489196 \h 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，导数与单调性问题是高频核心考点，每年均有涉及.题型全面覆盖单选、多选和解答题，分值分布在5至17分之间.既有直接考查单调区间的求解或根据单调性求参数范围，也常与不等式恒成立、最值问题结合进行间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查利用导数求解函数的单调区间、根据已知单调性逆求参数范围，以及利用单调性求最值或证明不等式.
命题趋势：从单一的初等函数求导向复合函数、分段函数以及含有超越函数（如指数、对数、三角函数）的复杂函数求导方向发展，对分类讨论思想的要求逐渐提高.
试题特点：选择题侧重于基础概念的灵活运用（如分段函数单调性的衔接、三次函数图象特征），解答题则往往将单调性作为工具，结合不等式恒成立或零点问题进行综合考查，计算量和逻辑推理要求较大.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的求导公式及复合函数的求导法则，确保求导准确无误.
· 强化分类讨论思想的训练，特别是在处理含参函数的导数零点分布时，做到不重不漏.
· 掌握分离参数法、构造函数法等常见解题技巧，提升将不等式恒成立问题转化为函数最值问题的能力.
· 注重数形结合思想的应用，善于通过函数图象特征辅助判断单调性及极值点位置.
二、知识清单
1.单调性基础问题
（1）函数的单调性
· 函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则y=f(x)为增函数；如果f'(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递增.
· ②若f(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有f'(x)≤0恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足f'(x)0，而显然f(x)=x3在(−∞,+∞)上是单调递增函数.
· 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0（f'(x)不恒为0），反之不成立.因为f'(x)≥0，即f'(x)>0或f'(x)=0，当f'(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增.当f'(x)=0时，f(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0（f'(x)不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
· f'(x)>0⇒f(x)单调递增；f(x)单调递增 ⇒f'(x)≥0.
· f'(x)0
C. f(−1)−f'(−1)>0 D. f（3）−3f'（3）>0
考法2：根据导函数图象判断原函数图象或性质
例2.（多选）已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x)，如图是函数y=xf'(x)的图像，则下列说法正确的是
A. 函数f(x)的增区间是(−2,0),(2,+∞)
B. 函数f(x)的增区间是(−∞,−2),(2,+∞)
C. x=−2是函数的极小值点
D. x=2是函数的极小值点
考法3：结合图象与单调性解不等式
例3.（2026·湖南衡阳·适应）（多选）函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图所示，设f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列结论正确的是
A. f'(x)>0的解集是(2,5)
B. 3a+2b+c=0
C. x=2时，f'(x)取得最大值
D. f(x)⋅f'(x)>0的解集是(−∞,−1)∪(1,2)∪(3,5)
【考点一 方法总结】
· 原函数的增减性对应导数的正负，原函数图象的凹凸性（切线斜率的变化率）对应导数的增减性.
· 处理含有x因式的导数图象（如xf'(x)），需在x=0两侧分别讨论符号，从而还原f'(x)的真实正负区间.
· 解形如f(x)f'(x)>0的不等式，等价转化为图象在x轴上方且上升，或在x轴下方且下降的区间.
· 遇到类似f(x0)−x0f'(x0)的符号判断，常构造切线方程y−f(x0)=f'(x0)(x−x0)，通过观察切线在坐标轴上的截距符号快速求解.
考点二：不含参函数的单调性分析与应用
考法4：求不含参函数的单调区间
例4.（2026·山东聊城·二模）函数f(x)=ex−1x−lnx的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿.
考法5：利用单调性与构造函数求解不等式或极值
例5.（2026·福建泉州·一模）已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(−x)+f(x)=0，若当x>0时，[f(x)+f'(x)]ex>[f(x)−f'(x)]e−x，则（ ）
A. f(e)0（或−2当且仅当1