第16讲 极值与最值 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

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1.极值与最值 PAGEREF _Tc232524501 \h 2
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 PAGEREF _Tc232524502 \h 3
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232524503 \h 4
考点一：求函数的极值与极值点 PAGEREF _Tc232524504 \h 4
考点二：根据极值、极值点求参数 PAGEREF _Tc232524505 \h 9
考点三：求函数的最值 PAGEREF _Tc232524506 \h 12
考点四：根据最值求参数及综合应用 PAGEREF _Tc232524507 \h 14
四、高考真题 PAGEREF _Tc232524508 \h 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最值解决恒成立问题.
· 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，将几何最值或代数最值转化为函数最值问题.
· 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性.
· 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏.
· 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数工具求解最值.
二、知识清单
1.极值与最值
（1） 函数的极值
· 函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值，称x0为极值点.
· 注：
①可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是：x0是导函数的变号零点，即f'(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f'(x)的符号异号.
②f'(x0)=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x3，f'（0）=0，但x0=0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x)=|x|，在极小值点x0=0是不可导的，于是有如下结论：x0为可导函数f(x)的极值点 ⇒f'(x0)=0；但f'(x0)=0推不出x0为f(x)的极值点.
（2）函数的最值
· 函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
· 导函数为f(x)=ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) (m0；当x10，f(x)单调递增；
当x∈(π,2π)时，x>0,sinx0，f(x)单调递增，
∴f(x)在(−3π,−2π)上递增，在(−2π,−π)上递减，在(−π,0)上递增，
在(0,π)上递增，在(π,2π)上递减，在(2π,3π)上递增，
其中x=0两侧函数的单调性相同，可得x=0不是函数f(x)的极值点，
∴f(x)在区间(−3π,3π)的极值点为x=−2π,−π,π,2π，共有4个.
对应选项A.
【规律】第一步，对函数求导得f'(x)=xsinx；第二步，令f'(x)=0求出区间内的所有驻点；第三步，通过列表或分段判断驻点两侧x与sinx的符号，进而确定f'(x)的符号变化，得出极值点个数.
考法3：含参函数的极值点个数问题
例3.（2026·福建福州·二模）已知函数f(x)=(x−a)m(x−b)n(m,n∈N∗,m0)，
当a≥0时，h'(x)>0恒成立，∴h(x)即f'(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a0，f'(2nπ+π2)0，则h(x)在(2kπ−3π2,2kπ−π)上单调递增，
而h(2kπ−3π2)0，则h(2kπ−3π2)⋅h(2kπ−π)0，x∈(x0,2kπ−π)，令g'(x)0，x∈(x2k,2kπ−π)，
可得f(x)在(x0,x2k)上单调递减，在(x2k,2kπ−π)上单调递增，
则x2k是f(x)的极小值点，故B正确，
对于C，由已知得x2k∈(2kπ−3π2,2kπ−π)，x2k+2∈(2kπ+π2,2kπ+π)，
则x2k+2−2π∈(2kπ−3π2,2kπ−π)，而sin(x2k+2−2π)=sinx2k+2=1x2k+2，
sinx2k=1x2k，而x2k1x2k+2，得到sinx2k>sin(x2k+2−2π)，
由正弦函数性质得y=sinx在(2kπ−3π2,2kπ−π)上单调递减，
则x2k2π，故C错误，
对于D，由题意得x2k∈(2kπ−3π2,2kπ−π)，x2k+2∈(2kπ+π2,2kπ+π)，
满足x2k0，
则m(x)在(π2,+∞)上单调递增，则m(x2k)0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)0，g(x)单调递增，
当x∈(−1,0)时，g'(x)0，f(x)单调递增，
∴f(x)在x=0处取得极小值，符合题意，故a=0.
（ii）由（i）知f(x)=3x2ex，则f(x)g(x)=−x3+bx2−5x+1ex≤1，
即b≤ex+x3+5x−1x2在x∈(0,+∞)上恒成立，
令h(x)=ex+x3+5x−1x2，则h'(x)=(ex+3x2+5)x2−2x(ex+x3+5x−1)x4=(x−2)ex+x3−5x+2x3，
令φ(x)=(x−2)ex+x3−5x+2，则φ'(x)=(x−1)ex+3x2−5，
φ''(x)=xex+6x>0，∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增，
又φ'（1）=−20，φ(x)单调递增，
又φ（1）=−e−20，h(x)单调递增，
∴h(x)min=h（2）=e2+174，∴b≤e2+174.
【规律】第一步，利用极值点条件f'（0）=0求出a=0；第二步，将恒成立不等式分离参数得到b≤h(x)；第三步，对h(x)多次求导分析单调性，求出其最小值，从而得到b的范围.
【考点二 方法总结】
· 已知极值或极值点求参数：利用 f'(x0)=0 且 f(x0)= 极值，列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点.
· 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式 Δ≤0 求解.
· 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数f(x)=x2ex,x∈[−3,0]，则函数f(x)的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】4e2
【思路】求导确定极值点，比较极值与区间端点处的函数值，即可找出最大值.
【解析】f'(x)=x(x+2)ex，令f'(x)=0，得x=−2或x=0，
当x∈[−3,−2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(−2,0)时，f'(x)0).
（1）求函数f(x)的极值点；
（2）若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为0，求实数a的值.
【答案】（1）x=a为极小值点，无极大值点
（2）a=e
【思路】求导后，根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最小值所在位置，进而解出参数.
【解析】（1）函数f(x)=x2−2alnx(a>0)的定义域为(0,+∞)，
又f'(x)=2x−2ax=2(x2−a)x=2(x+a)(x−a)x，
∴当00，
∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)，
∴x=a为f(x)的极小值点，无极大值点.
（2）当a≤1，即00，对任意的x∈(0,+∞)，都有lnx+2a−bx−a≥0，
则b≤xlnx−ax+2a对任意的x∈(0,+∞)恒成立，
设f(x)=xlnx−ax+2a，则f'(x)=lnx+1−a，
令f'(x)=0，得x=ea−1，
当x∈(0,ea−1)时，f'(x)0，g(a)单调递增；
当a∈(1+ln2,+∞)时，g'(a)0.
（1）y=g(x)在x=1处切线的斜率为32，求m的值；
（2）若函数g(x)有两个极值点a,b，
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：g(a)+g(b)0，解得m0，两根之积ab=m>0，
综上m∈(0,4)；
（ii）由（i）知a+b=4,ab=m，
先计算g(a)+g(b)：
g(a)+g(b)=4a−mlna−12a2−2+4b−mlnb−12b2−2
=4(a+b)−mln(ab)−12(a2+b2)−4，
代入a+b=4,ab=m，
且a2+b2=(a+b)2−2ab=16−2m，
∴g(a)+g(b)=4×4−mlnm−12(16−2m)−4=4+m−mlnm，
要证g(a)+g(b)0，f(x)单调递增；
当x>0时，g(x)−2当且仅当10，
∴g'(t)>0恒成立，∴g(t)在(0,1)上为增函数，
∴g(t)>g（0）=0即f(x)>−2在(1,2)上恒成立.
当−23≤b−2的解为(1,2).
综上，b≥−23.
5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+y2=1，圆C3:x2+(y−3)2=1，直线l:y=kx+b与C1,C2,C3均有两个交点，且l被C1,C2,C3截得的弦长分别为s1,s2,s3，则（ ）
A. k可以取任意实数
B. 满足s1=s2=s3的直线l共有3条
C. 满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条
D. 当b=0时，s1+s2+s3的最大值为2213
【答案】BCD
【解析】三个圆的圆心分别为O1(−1,0),O2(1,0),O3(0,3)，半径均为1.这三个圆心构成一个边长为2的等边三角形.
直线l与三个圆均有两个交点，等价于直线到三个圆心的距离d1,d2,d3均小于1.
对于A，若k→∞，直线趋近于垂直x轴，其方程形如x=c.要与C1,C2均相交，需满足−2