2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第三章3.2导数与函数的单调性（Word版附答案）

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1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的 ；
第2步，求出导数f'(x)的 ；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.( )
(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.( )
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.( )
2.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( )
A.f(x)在(-3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，+∞)上单调递增
3.函数f(x)=xln x的单调递减区间为( )
A.0，1eB.1e，+∞
C.(1，+∞)D.(0，1)
4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为12，1，则a= .
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)a>bB.a>c>b
C.b>c>aD.c>b>a
(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)=3x-sin x，若f(a)+f(a2-2)>0，则实数a的取值范围为 .
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
典例 (多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是( )
A.f(x)＝exB.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln xD.f(x)＝sin x
命题点2 根据函数单调性求参数
例4 已知函数f(x)=ln x-12ax2-2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
答案精析
落实主干知识
1.单调递增 单调递减 常数函数
2.定义域 零点
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.C 3.A 4.3
探究核心题型
例1 (1)C [因为f(x)=12x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)，
所以f'(x)=x-3-4x=x2-3x-4x=(x-4)(x+1)x，
令f'(x)0，解得x>0；
令f'(x)0，
解得x>0或x0，即a1，x-122-14≥-14，
所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)=ln x-xex在(0，+∞)上单调递增.
又0a>b.]
(2)(-∞，-2)∪(1，+∞)
解析 函数f(x)=3x-sin x的定义域为R，且f(-x)=-3x+sin x=-f(x)，
所以f(x)=3x-sin x为奇函数，
又f'(x)=3-cs x>0，
所以f(x)=3x-sin x在R上单调递增，
不等式f(a)+f(a2-2)>0，
即f(a2-2)>-f(a)=f(-a)，
等价于a2-2>-a，
解得a>1或a-1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).
跟踪训练3 (1)C [依题可知，f'(x)=aex-1x≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥1a在(1，2)上恒成立，
设g(x)=xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)=(x+1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)=e，故e≥1a，
即a≥1e=e-1，
即a的最小值为e-1.]
(2)D [构造函数f(x)=lnxx，x∈(0，+∞)，
则f'(x)=1-lnxx2，
令f'(x)>0，得00
f(x)在区间(a，b)上
f'(x)