专题15 单调性问题（6种考向）-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

这是一份专题15 单调性问题（6种考向）-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用），文件包含专题15单调性问题解析版docx、专题15单调性问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。

专题15 单调性问题
【命题方向目录】
命题方向一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
命题方向二：求单调区间
命题方向三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
命题方向四：不含参数单调性讨论
命题方向五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
方向2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
命题方向六：分段分析法讨论
【2024年高考预测】
2024年高考仍然重点利用导数研究函数的单调性问题，难度可为基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
【知识点总结】
1、函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数在区间上可导

f（x）在区间上单调递增

f（x）在区间上单调递减

f（x）在区间上是常数函数

2、利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
【方法技巧与总结】
1、若函数在上单调递增，则时，恒成立；若函数在上单调递减，则时，恒成立．
2、若函数在上存在单调递增区间，则时，有解；若函数在上存在单调递减区间，则时，有解．
【典例例题】
命题方向一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2023·湖南·校联考二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）
  
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，
故选：D.
例2．（2023·河北石家庄·高三校考期末）函数的图象如图，则导函数的大致图象为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由导数的几何意义可知，为常数，且.
故选：.
例3．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】导数正负决定函数的增减，
根据导数先正，后负，后正，
所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，
再根据导数的几何意义是切线斜率，
所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，
所以应选B，不选C.
故选：B.
变式1．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】D
【解析】根据导函数的图象可知，在区间上递减，
在区间上，递增，
所以D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
变式2．（2023·山东济宁·高三校考阶段练习）如图是的图像，则函数的单调递减区间是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图象知或时，，因此减区间是，．
故选：B．
【通性通解总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
命题方向二：求单调区间
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ）
A． B．
C． D．和
【答案】C
【解析】函数的定义域为，求导得，
由得，所以函数的单调递减区间是.
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
由，得，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：B.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，即的定义域为；
，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：A.
变式3．（2023·云南昆明·昆明一中模拟预测）设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又因为是偶函数，所以，
即，故，即，
所以，令，解得，
所以的单调递减区间为.
故选：C．
【通性通解总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线．
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．
命题方向三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
例7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
设，可得，
令，可得
当时，，所以单调递增，
又因为，
所以，所以在上单调递减，
所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
例8．（2023·河南安阳·高三校考期末）已知函数在区间单调递增，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
令，，对称轴为.
当即时，函数在上单调递减，
，得，
所以，
由知，，无法判断的取值范围；
，
由知，；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，得，
所以，
由知，，
；
当即时，函数在上单调递增，
，所以，.
故选：D.
例9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在内单调递增，则在恒成立，
即在上恒成立，
又，
所以，
即.
故选:D.
变式4．（2023·贵州黔南·高三阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，所以或，解得实数的取值范围是，选D.
考点：函数单调性
变式5．（2023·高三单元测试）函数f(x)= 在上是单调函数的必要不充分条件是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于函数f（x）为分段函数，故要使其为单调增函数，需每段上为增函数且x＜0时的最大值小于或等于x≥0时的最小值，同理得出其为单调减函数的条件，因此先求函数为增函数的充要条件，再比较选项中的集合与充要条件集合的包含关系即可判断其充要性．
根据题意函数f(x)= 在上是单调增函数
当x0时，y=为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为增函数时，有a＞0；
当x＜0时，f（x）=是增函数，它的导函数为f′（x）=a，
令f′（x）0得-1a0或a1，且≤0即-1a1，
∴综合得a=1；
意函数f(x)= 在上是单调减函数
当x≥0时，y=为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为减函数时，有a＜0；
当x＜0时，f（x）=是减函数，它的导函数为f′（x）=a，
令f′（x）0得
0a1或a-1，
且（a2-1）e00即a-1或a1，
∴综合得a-1．
综上所述则是单调函数的充要条件是a-1或a=1，故那么其必要不充分条件表示的集合要大，故选D.
考点：分段函数单调性
点评：本题考查了分段函数的单调性的判断方法，判断命题充要性的方法，导函数的应用等，属于基础题．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（    ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，
则满足，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：C.
变式8．（2023·安徽·高三校联考期末）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数，导数.
要使函数在区间上单调递减，只需恒成立.
因为，只需，只需恒成立.
记，只需.
.
因为，所以.
由在上单减，在上单增，且时，，时，.
所以在上的最大值为，所以在的最大值为1.
所以.
故选：B
变式9．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
故选：B
变式10．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】换元，令，由题意，根据复合函数同增异减的判断方法可知函数在上单调递减，并且在上成立，求解即可.令，则，因为函数在上单调递增，函数在定义域上是减函数，所以函数在上单调递减，并且在上成立；当在上单调递减，
则在上成立，所以；又在上成立，所以在上成立，所以，综上，的取值范围为.
故选：D.
【通性通解总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
命题方向四：不含参数单调性讨论
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
【解析】（1）的定义域为，
，，
依题意得，所以.
（2）∵， ，
因为当时，，所以在上单调递增，
且，故，即，∴：在上单调递增；
，，
∴，令，
而，
令，
，
∴在上单调递减，且，故，
∴，
∴在上单调递增，且，
故，即，∴函数在上单调递增；
例11．（2023·江西赣州·高三校考开学考试）设函数
(1)证明：在上单调递增;
【解析】（1）函数的定义域为，导函数为.
令，则，
令，则.
因为，所以.
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，即恒成立，
所以函数在上单调递增.
所以当时，，
所以>0,
所以在上单调递增.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)当时，求证：在上单调递减；
【解析】（1）证明：当时，，
则，令，
则在上单调递减，
且，且，
，使.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，，，
，
在上单调递减.
变式11．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知.
（1）当时，求证：在上单调递减；
【解析】（1）由题意，函数，可得，
由时，则，
当时，，所以，
所以在单调递减.
变式12．（2023·广东梅州·统考模拟预测）已知函数，证明：
（1）在区间单调递减；
【解析】（1），
当时，，，所以，故在单调递减；
【通性通解总结】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
命题方向五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例13．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，其中.
(1)若，讨论的单调性；
【解析】（1）若，即，可得，
①若，则，即在单调递减；
②若，令有，即在上单调递减，上单调递增，
综上可得：当，在单调递减；
当，在上单调递减，上单调递增.
例14．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【解析】（1）依题意，，；
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
故当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
例15．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知函数．
(1)令，讨论在的单调性；
【解析】（1），而，
①当时，恒成立，所以在上递减；
②当时，令，得或；令，得.
所以当，即时，在上递增，当，即时，在上递减，在上递增；
③当时，令，得或；令，得.
所以在上递减.
综上所述，当时，在上递减；
当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增；
变式13．（2023·陕西咸阳·校考二模）已知函数.
(1)当，求的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）
，
所以，
令，解得，
x

3



0
+

↘
极小值
↗
所以存在唯一极小值 ,无极大值；
（2）因为，
所以
①当时，恒成立，此时在单调递增；
②当时，令解得，
x

m



0
+

↘
极小值
↗
所以在单调递减，在单调递增.
变式14．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【解析】（1）由题意知，的定义域为，
对求导，得
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，由，得，由，得
所以，在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
情形二：函数为准一次函数
变式15．（2023·河南许昌·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）因为，
所以．
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递减．
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
变式16．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）由，
当，则，即在定义域上递增；
当，令，则，
当，，即递增；
当，，即递减；
此时在上递减，在上递增.
变式17．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【解析】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，





+
0


↗
极大值
↘
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
变式18．（2023·北京·校考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)设时，讨论函数的单调性.
【解析】（1）因为函数，所以，设切点坐标为
则切线斜率为，故切线方程为
由于切线过点，所以，整理得，解得，
故切线方程为：；
（2）等价于．
设，．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在时取得极大值也就是最大值为，
，即．
则的取值范围为,；
（3），，．
．
令，
则，
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减．
，即，
在和上单调递减．
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
变式19．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
【解析】（1）函数的定义域是．
由已知得，．
①当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
③当时，当时，，单调递增；
④当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，①当时，函数在上单调递减，上单调递增；          
②当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增；          
③当时，函数在单调递增；          
④当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增．
变式20．（2023·江西宜春·高三校联考期末）已知函数．
(1)当，时，讨论函数的单调性；
【解析】（1）因为
当，时，可得，
令，解得或2，
当时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，当且仅当时取等号，
故函数在上单调递增；
当时，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为，
所以
当时，，所以在上单调递增
当时，令得，令得
所以在上单调邀减：在上单调进增
综上，当时，函数的单调递增区间为
当时，在上单调递减，在上单调递增．
变式22．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为，
.
①当时，，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为；
②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为；
③当时，，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
变式23．（2023·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知函数.
(1)若的导函数为，试讨论的单调性；
【解析】（1）由已知，则，
①当时，，得在单调递减；
②当时，，
得在单调递减，在单调递增，
综上：当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，在单调递增.
方向2、不可因式分解型
变式24．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）由已知的定义域为，
，
①当，即时，对任意，都有，此时在区间上单调递增；
②当，即时，令，
则的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，单调递增，当时，单调递减，
的最大值为，
i）当时，对任意，都有，
∴，在区间上单调递减；
ii）当时，，
∴令，解得，，
且，
∴当时，，
∴，在区间和上单调递减；
当时，，
∴，在区间上单调递增.
综上所述，当时， 在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减；
当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
变式25．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知函数
(1)若是的一个极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）由题意，
在中，
是的一个极值点
∴，
解得：
（2）由题意及（1）得，
在中，，
设，
当时，，

若，解得：
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
当时，

当时，，
当时，解得，，
当即时，，函数单调递减，
当即时，，函数单调递增，
当时，
若即，，，单调递减，
若即，
当时，解得，，
当即和时，，函数单调递减，
当即时，，函数单调递增，
综上，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减.
变式26．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）的定义域为，，.
当时，，，此时在单调递减；
当时，.
①当时，，，，此时在单调递减；
②当时，，令，得，.
当变化时，，变化情况列表如下：







-
0
+
0
-


极大值

极小值

综上所述：
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，
在单调递增.
变式27．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）的定义域为R，
，，对于，则，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，
当和时，，
当时，，
在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；.
变式28．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
【解析】（1）当a=1时，，
所以，
故切点坐标为，
又，
所以，
故切线的斜率为，
由点斜式可得，，即，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为；
（2）的定义域为，
又，
①当，即时，在上恒成立，
故在上单调递减；
②当，即或，
令，解得，
若时，则当或时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若时，在上恒成立，
故在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
变式30．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数，()，
(1)当时，令函数，求的单调区间；
【解析】（1）由题意可得：，
所以，
若时，，此时在内单调递减；
若时，令，得或，
当或，；
当时，.
所以当时，在和上单调递减；
在上单调递增.
【通性通解总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
变式31．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)若，试讨论在上的单调性；
【解析】（1），，
若，，有，则在上的单调递增；
若，令，得，
①当即时，
，有，则在上的单调递减，
，有，则在上的单调递增，
②当 即时，，有，则在上的单调递增，
综上所述：当时，在上的单调递增；
当时，在上的单调递减，在上的单调递增.
变式32．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若，讨论函数的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为R，由．
得．
若，则，函数在R上单调递增．
若，则时，，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
若，则时，时，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
综上所述，当，则，函数在R上单调递增；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
变式33．（2023·福建宁德·高三统考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）因为．

①当时，，在R上单调递增；
②当时，令，得，
,在上单调递减；
,在上单调递增．
③当时，令，得
，在上单调递减；
，在上单调递增．
变式34．（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
【解析】（1）函数的定义域为，
由，得，
令，则，
当时，，
所以，恒成立，
当时，令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，即，
由于当时，，
综上恒成立，
所以的符号与的符号相同，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增；
变式35．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【解析】（1）
当时，则，
令，则
∴在上单调递减，在上单调递增
当时，令，则或
①当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增
②当，即时，则在上单调递增
③当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在上单调递减，在，上单调递增
当时，则在上单调递增
当时，则在上单调递减，在，上单调递增
变式36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（e为自然对数的底数，且）.
(1)讨论的单调性；
【解析】（1），
当时，，
则当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增.
当时，由得，.
若，则，故在上单调递增.
若，当或时，，故在，单调递增.
当时，，故在单调递减.
综上所述：
时，在单调递减，在单调递增；
时，在，单调递增，在单调递减.
时，在上单调递增.
命题方向六：分段分析法讨论
例16．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
【解析】（1）,所以，．            
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题设，．
所以．            
当时，因为，所以．                    
所以在上单调递增．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
【解析】（1），
当时，，，，
，即，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
函数在上单调递增．
例18．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）已知.
(1)若，求f（x）在的最大值；
(2)若，证明：在上单调递增.
【解析】（1）若 ，则，故，
令，则在上恒成立，
故在 上递增，
又 ，，故存在，使得，
则时，，时，，
故在递减，在递增，故，
又 ， ，
故在的最大值为.
（2）先证明成立，再证明成立．
令，则 ，
当时， ，当时， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以 ，即恒成立．
令，则，仅在时取等号，
所以在上单调递增，
所以 ，即成立，
所以，
由于，当时，，
而，则 ，故 ，
所以在上单调递增．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求证：在上单调递增；
【解析】（1），，
当时，，，，（等号不能同时成立），所以；
当时，，，，所以，
所以当时，，综上，在上单调递增．
变式38．（2023·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数
(1)求证：函数在上单调递增；
【解析】（1），
，
因为，所以，则，
而时，，，
故函数在上单调递增.
【通性通解总结】
1、二次型结构，当且仅当时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．
2、对于不可以因式分解的二次型结构，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负．
3、注意定义域以及根的大小关系．

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
【答案】B
【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
∴或，
∴或，故A，C，D错误.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的图像知:当时，单调递减，，
当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
由选项各图知：选项C符合题意，
故选：C.
3．（2023·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数，若在上是单调减函数，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
函数在上为单调减函数，
对恒成立，
即对恒成立，
，解得，
的取值范围是.
故选：A.
4．（2023·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考阶段练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对，，都有成立，
所以对，，都有.
设，则在为减函数.
，
等价于，恒成立，
即，恒成立.
设，，
所以，，为减函数，
，，为增函数，
所以，所以，即.
故选：C
5．（2023·广东深圳·高三统考阶段练习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
当时，在上恒成立，
此时在上单调递减，不合要求，舍去；
当时，则要求的零点在内，
的对称轴为，由零点存在性定理可得：
，故，
解得：，
故的取值范围.
故选：C
6．（2023·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）“”是“函数在区间内单调递增”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，在上有，此时，
则，
所以在上递增，
若在区间内单调递增，
当时，符合题意，
当时，令，得或，要在区间内单调递增，则，得，综上，
所以“”是“函数在区间内单调递增”的充要条件，
故选：C
7．（2023·河南·高三期末）函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数定义域为，
由题意，函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，
即方程在上有根，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵对于任意得有，
∴
∴在上单调递增，
∵
∴在上恒成立，
∴，即在上恒成立，，
∵
∴，即实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（    ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是偶函数
D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【解析】因为，所以定义域为，故A正确；
因为，所以是偶函数，故C正确；
因为 ，当时，，所以在上单调递增，故D正确；
因为是偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，即有最小值，与的值域为矛盾，故B错误.
故选：ACD.
10．（2023·江苏苏州·高三校考期中）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．当时，对于任意的，都有
D．函数的图像有条切线方程为
【答案】AB
【解析】因为
所以，，
所以的单调减区间为，
故A正确．
令，
则或
所以在，单调递增
在单调递减
所以函数的极小值为，
故选项B正确；
由，
若
即


矛盾，
故选项C错误．
，
解的或，
当时切点不在上
当时切点不在上，
故选项D错误，
故选：AB．
11．（2023·浙江金华·高三校考阶段练习）已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为函数在上单调递增，对任意的，，A对；
的符号不能确定，B错；
，则，可得，C对D错.
故选：AC.
12．（2023·山东临沂·高三校考期末）已知函数，则（    ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】定义域为R，，
令，解得：，
令得：或，令得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故0为的极大值点，为的极小值点，A正确；
，，由零点存在性定理得：上存在1个零点，
因为，故在上无零点，
综上：结合函数单调性可知有1个零点，B错误；
，不恒等于2，故点不是曲线的对称中心，C错误；
，，，
故在处的切线方程为，即，
故直线是曲线的切线，D正确.
故选：AD
三、填空题
13．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知是函数的导函数，写出一个同时具有下列性质①②③的函数________．
①定义域为；②对任意，；③的图象关于原点中心对称．
【答案】（答案不唯一，只要函数是定义域为的可导偶函数，在单调递增均可）
【解析】令，显然定义域为，满足①，
又，当时，满足②，
且为奇函数，函数图象关于原点对称，满足③.
故答案为：（答案不唯一，只要函数是定义域为的可导偶函数，在单调递增均可）
14．（2023·全国·模拟预测）设向量，满足，，若函数单调递增，则的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】依题意得，
又函数单调递增，
则恒成立，
所以，，
所以，即．
故答案为：．
15．（2023·浙江宁波·高三统考竞赛）已知实数满足，则_____．
【答案】1
【解析】设，则，故在上为增函数，
而即为，
由题可得，所以，即．
故答案为：1
16．（2023·安徽芜湖·高三统考期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为
所以，又因为函数在上单调递增
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
也是在上恒成立
，只需要满足时对应的函数值都不大零即可.
则只需要满足，即
故答案为：
四、解答题
17．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）（1）若幂函数在单调递减，求实数值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是幂函数，
所以，即，
解得，
当时，在单调递增，不符合题意；
当时，在单调递减，符合题意；
所以实数的值为-1；
（2）因为函数，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值为，
所以，
所以实数的取值范围是.
18．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，
即恒成立，令，
则，而．
因为，所以．所以（此时），所以．
当时，．
因为，所以，即在上为减函数，
又，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，，所以．
因为在上存在单调递减区间，
所以当时，有解，即有解．
设，所以只要即可，而，，
所以，此时，所以．
又，所以或．
所以实数a的取值范围为．
19．（2023·云南怒江·高三校考期末）已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)根据的取值，讨论函数的单调性．
【解析】（1）函数，求导得，依题意，，解得，
当时，，，则函数的图象在点处的切线方程为，符合题意，
所以.
（2）函数的定义域为R，而中，恒成立，
当时，，因此函数在R上单调递增；
当时，在R上单调递增，由得：，
当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
20．（2023·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.
【解析】（1）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
.
要证，
只需证，
即证恒成立.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，即：.
∴恒成立，
∴原命题得证.即：当时，.
21．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，是函数的极值点，证明：；
(2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围．
【解析】（1）证明：由题意，，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
所以，命题得证.
（2）由，
所以，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，；当时，.
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，则，
所以对任意恒成立，即恒成立，
所以，将带入上式，
整理得，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围为．