第二十章 勾股定理（高效培优单元自测 强化卷）数学新教材人教版八年级下册+答案

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第二十章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（　　）A．32、42、52B．13，14，15C．9，12，15D．3，4，5【答案】C【解答】解：A、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴长度为32、42、52的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；B、∵（14）2+（15）2≠（13）2，∴长度为13、14、15的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；C、∵92+122＝152，∴长度为9、12、15的三条线段能围成直角三角形，符合题意；D、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴长度为3、4、5的三条线段不能围成直角三角形，不符合题意；故选：C．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（　　）A．4B．16C．32D．40【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32，故选：C．3．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．∠A＝∠B+∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝1，b=2，c=3【答案】B【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，则∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°，解得k＝15°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵12+ (2)2= 1+ 2=3，(3)2=3，∴12+ (2)2=(3)2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意，故选：B．4．如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　）A．5B．−5C．2−5D．5−2【答案】A【解答】解：由数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，以点O为圆心，OB长为半径画弧，得OA＝OB=12+22=5，则点A表示的数是5．故选：A．5．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　）A．BF﹣DF＝CDB．BF+DF＝CDC．BF2+DF2＝CD2D．2BF﹣2DF＝CD【答案】C【解答】解：如图，连接CF，∵AC＝AD，AC⊥AD，∴∠ACD＝45°＝∠ADC，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°，∴∠CBD＝45°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE是线段BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．故选：C．6．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是（　　）A．32海里B．42海里C．40海里D．30海里【答案】D【解答】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠RPQ＝∠1+∠2＝90°，∵“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时，∴PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），在直角三角形PRQ中，由勾股定理得：QR=PR2+PQ2=242+182=30（海里），∴此时两船的距离是30海里，故选：D．7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　）A．6B．12C．10D．8【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，∵S3+S2﹣S1＝24，∴S2＝12，由图形可知，阴影部分的面积=12S2＝6，故选：A．8．如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的值最小为（　　）cm．A．7B．8C．16D．17【答案】A【解答】解：如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB=AD2+BD2=152+82=17（cm），∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm），即h的值最小为7cm，故选：A．9．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为（　　）A．52B．104C．48D．96【答案】C【解答】解：设BD＝BE＝x，∵AC＝6，CD＝2，∴AF＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，BC＝x+2，则AE＝AF＝4，∴AB＝x+4，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x+4）2＝62+（x+2）2，解得：x＝6，∴BC＝6+2＝8，∴长方形的面积为：6×8＝48，故选：C．10．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　）A．32B．52C．2D．3【答案】B【解答】解：延长AE交BC的延长线于点F，∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BF，∴∠DAE＝∠F，∵点E是BD的中点，∴DE＝BE，在△DAE和△BFE中，∠DAE=∠F∠DEA=∠BEFDE=BE，∴△DAE≌△BFE（AAS），∴BF＝AD＝6，AE＝FE，∵AD＝2BC＝6，∴BC＝3，∵AB：BC＝5：3，∴AB＝5，∵∠ACB＝90°，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=AC2+CF2=42+32=5，∴AE＝FE=52，故选：B．11．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　）A．8B．25C．210D．42【答案】D【解答】解：①沿CC1展开，如图所示，MN=B1N2+B1M2=22+62=210（cm）．②沿B1C1展开，MN=MH2+NH2=42+42=42（cm），42＜210，∴最短路线长是42cm，故选：D．12．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为（　　）A．15B．16C．17D．18【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，∴E，F，G分别为AF，BG，CH的中点，AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF，∴S△AEH=S△DHG=S△CGF=S△BFE=12S正方形EFGH，ED＝2AE，∴S阴影＝3×S正方形EFGH，依题意，∠AED＝90°，∴AD2＝DE2+AE2＝4AE2+AE2＝5AE2，∵AD的长为5，∴25＝5AE2，∴AE=5（负值已舍去），即EH=AE=5，∴S正方形EFGH=(5)2=5，∴S阴影＝3×5＝15，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，则a＝　6　 ．【答案】6．【解答】解：∵a：b＝3：4，∴设a＝3k，b＝4k，∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，∵c＝10，∴（3k）2+（4k）2＝102，解得k＝2（负值舍去），∴a＝3k＝6，故答案为：6．14．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的最高处飞到另一棵树的最高处，则小鸟至少飞行　5　 米．【答案】5．【解答】解：由题意可知：AC＝4米，BC＝6﹣3＝3（米），由勾股定理得：AB=AC2+BC2=42+32=5（米），则小鸟至少飞行5米，故答案为：5．15．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　24　 m2．【答案】24【解答】解：连接AC，∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，∴AC=32+42=5（m），△ACD的面积=12×3×4＝6（m2），在△ABC中，∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴直角△ABC的面积=12×12×5＝30（m2），∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）．故答案为：24．16．如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于C，AC＝40cm，OM＝70cm．跷跷板可以绕点O转动，如图3是跷跷板水平时即EF∥MN，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有AE＝AG．则跷跷板AB的长为 　265　 cm．【答案】265．【解答】解：由题意得，EG＝AC＝40cm，OE＝OA，过A作AP⊥EG于P，∵AE＝AG，∴PE＝PG=12EG＝20（cm），∵EF∥MN，∴AP＝OM＝70cm，在Rt△APO中，AP2+PO2＝AO2，∴702+（AO﹣20）2＝AO2，∴AO=2652（cm），∴AB＝2OA＝265（cm），故答案为：265．17．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　84　 ，c＝　85　 ．【答案】84；85【解答】解：在32＝4+5中，4=32−12，5=32+12；在52＝12+13中，12=52−12，13=52+12；…则在13、b、c中，b=132−12=84，c=132+12=85．18．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 　2或258　 ．【答案】2或258．【解答】解：过点A作AH⊥BM，由条件可知AH＝3cm，∵AB＝5cm，根据勾股定理，得BH=AB2−AH2=4cm，当∠APB＝90°时，如图所示：此时点P与点H重合，则BP＝BH＝4cm，根据题意得2t＝4，解得t＝2；当∠BAP＝90°时，如图所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根据感觉到了可得：AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t=258；综上所述，t的值为2或258，故答案为：2或258．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝4，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【答案】（1）42；（2）b=53，c＝10．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝4，∴c=a2+b2=42+42=42；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°．a＝5，∠A＝30°，∴a=12c，∴c＝2a＝10，∴b=c2−a2=102−52=53．29．（8分）已知一个三角形ABC的三边长分别为：AB=239x，BC=6x4，AC=2x1x．（1）判断三角形ABC的形状，并求它的周长（要求结果化简）；（2）求三角形ABC的面积．【答案】（1）等腰三角形，周长为7x；（2）37x4．【解答】解：（1）三角形ABC是等腰三角形；理由如下：∵AB=239x=2x，BC=6x4=3x，AC=2x1x=2x，∴AB＝AC，∴三角形ABC是等腰三角形，三角形ABC的周长=AB+BC+AC=2x+3x+2x=7x；（2）如图，过A作AD⊥BC于D，BC=3x，∴BD=CD=32x，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD=AB2−(12BC)2=(2x)2+(3x2)2=7x2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×3x×7x2=37x4．21．（8分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？【答案】（1）台风中心经过15h从B点移到D点；（2）A市受到台风影响的时间持续12h．【解答】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km，在Rt△ABD中，BD=AB2−AD2=300km，∵300÷20＝15，∴台风中心经过15h从B点移到D点；（2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km，由AD⊥BC得DE＝DF，在Rt△AED中，ED=AE2−AD2=120km，∴EF＝2ED＝240km，∴t＝240÷20＝12，∴A市受到台风影响的时间持续12h．22．（8分）【定义新知】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．【应用探究】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）【答案】（1）见解析；（2）106或85．【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线，则CD=12AC=1，又∵BC=3，∴BD=12+(3)2=2=AC，∴△ABC是“奇异三角形”；（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E∵AB＝AC＝20，∴BD＝20，ED=12AD=14AC=5，∴CE＝10+5＝15，∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，∴Rt△BCE中，BC=BE2+CE2=375+225=600=106；如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，又∵x＞0，∴x=80=45，∴BC=2x=85，综上所述，底边BC的长为106或85．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C运动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为ts．（1）求AC的长；（2）P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得△PBQ是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）183cm；（2）9或725．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm，∴AB＝2BC＝36cm，由勾股定理，得：AC=AB2−BC2=362−182=183(cm)，（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝90°﹣60°＝30°，∴BQ=12BP，即t=12×(36−2t)，解得，t＝9，当∠QPB＝90°时，∠BQP＝90°﹣60°＝30°，∴B Q＝2 B P，即t＝2×（36﹣2t），解得，t=725，综上所述，t为9或725时，△PBQ是直角三角形．24．（10分）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；（2）当n是大于1的奇数时，若n，n2−12，x是勾股数，且x＞n，x＞n2−12，求x．（用含n的式子表示）【答案】（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，理由见解析；（2）x=n2+12．【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数；（2）∵n，n2−12，x是勾股数，且x＞n，x＞n2−12，∴x2＝n2+（n2−12）2＝n2+n4−2n2+14=n4+2n2+14 =(n2+1)24，∴x=n2+12．25．（10分）小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P1，P2其坐标分别为（a，b）和（c，d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，P2Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为(a−c)2+(b−d)2．根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，5）则线段AB的长为 　10　 ；（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（4，0），且CD＝5，则点C的坐标是 　（0，3）或（0，﹣3）　 ；（3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），请判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）10；（2）（0，3）或（0，﹣3）；（3）△ABC是等腰直角三角形，理由见解答：【解答】解：（1）∵A（3，2），B（4，5），∴AB=(3−4)2+(2−5)2=(−1)2+(−3)2=1+9=10，故答案为：10；（2）设点C的坐标为（0，y），∵点D的坐标是（4，0），且CD＝5，∴42+y2＝52，解得：y＝3或y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；故答案为：（0，3）或（0，﹣3）；（3）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：∵三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），∴AB=(1−3)2+(3−0)2=13，BC=(3+2)2+(0−1)2=26，AC=(1+2)2+(3−1)2=13，∴AC＝AB，AB2+AC2=(13)2+(13)2=26=(26)2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．26．（10分）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求BE的长；（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）见解答；（2）5；（3）45．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为垂美四边形，∴AC⊥BD，在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2＝a2，在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝c2，∴a2+c2＝OA2+OB2+OD2+OC2；同理：b2+d2＝OA2+OB2+OD2+OC2，∴a2+c2＝b2+d2；（2）解：如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，连接DE，∴CD＝AB＝10，BC＝AD，∠C＝90°，∵AD：BE＝4：1，设BE＝x，则AD＝BC＝4x，EC＝BC﹣BE＝3x，∵AE⊥BD，∴四边形ABED是垂美四边形，∴AB2+DE2＝BE2+AD2，∵DE2＝CD2+EC2，∴102+102+（3x）2＝x2+（4x）2，解得：x＝5（舍去负值），即BE＝5；（3）解：∵BE＝5，AD：BE＝4：1，∴AD＝20，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB2+AD2=105，∵S△ABD=12AB⋅AD=12BD⋅AF，∴AF=AB⋅ADBD=10×20105=45．