2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)培优点06极值点偏移(学生版+解析)

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知识点01极值点偏移的概念
已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有x0≠eq \f(x1＋x2,2)，这种情况称为极值点偏移．
知识点02极值点偏移问题的一般题设形式
(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0.
题型方法
【题型一】对称化构造函数
【例1】（2024·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
【举一反三】【变式1】（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
【变式2】（2022·四川南充·一模）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【变式3】（2024·山东日照·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．
【题型二】比值代换
【例2】（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
【举一反三】【变式1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实根，，且，求证：.
参考数据：，.
【变式3】（2023·江西南昌·二模）已知函数，．
(1)当时，恒成立，求a的取值范围．
(2)若的两个相异零点为，，求证：．
好题必刷
一、解答题
1．（2022·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为其极小值点．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得，求证：．
4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若有三个零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)假设存在正实数，满足．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
7．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当时，若，求证：
9．（2024·四川眉山·三模）已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
题型方法
题型一 对称化构造函数
题型二 比值代换
解题技巧
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
(2)对结论x1x2>xeq \\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可
解题技巧
比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq \f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明