2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)专题01利用导数研究函数零点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)专题01利用导数研究函数零点(学生版+解析)，共8页。
题型方法
【题型一】利用导数判断函数零点个数
【例1】（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数.
【详解】由题设且定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
当或时，故在定义域上有2个零点.
故选：C
【举一反三】【变式1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可.
【详解】,
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，所以当时，，无零点；
而，，且函数在上单调递增，故有一个零点.
故选：B
【变式2】（2020·四川宜宾·二模）函数的零点个数为 ．
【答案】
【分析】先求出导函数，令求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数．
【详解】函数，，
令得：或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，
则函数的大致图象如图所示：

由图象可知，函数有个零点.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，以及函数的零点，是中档题．
【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)讨论的零点个数.
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）求导得到表达式，由求出，再利用求出b.
（2）根据第（1）问得到和，令，对求导判断的单调性，依据正负，判断的单调性，得出最小是，算出小于0，再根据零点存在性定理即可判断零点个数.
【详解】（1）求导得到，
根据函数在点处的切线方程为，得到.
把代入得，
因为，所以，即.
又，解得.
（2）由第（1）问知，.
令，求导得.
当，，在递减；
当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即.
当，，在递减；
当，，在递增，所以.
，又，，
根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点.
【题型二】根据零点情况求参数（范围）
【例2】（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
【举一反三】【变式1】（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围．
【详解】函数的定义域为.
当时，令，在只有一个零点，不合题意；
当时，，
当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意；
当时，令，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又时，，
若有两个零点，则，
设，令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，
所以，
故选：C．
【变式2】（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据、得出的表达式，再通过导函数研究函数的单调性即可利用对称性以及图象变换画出的图象，利用图象交点得出的取值范围.
【详解】因关于直线对称，则，且，
则且，解得，
则，
经检验：对任意恒成立，
即的图象关于直线对称，
则符合题意；
因恰有6个零点，
则与的函数图象有6个交点，
现研究函数的单调性：
因
，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因，
则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象：
由图象可知，，则的取值范围为.
故答案为：.
【变式3】（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若，证明函数有两个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）通过，讨论导数符号，进而可求解；
（3）求导确定函数单调性，确定相应最值，进而可求证；
【详解】（1）因为，所以．
因为，所以．
所以曲线）在处的切线方程为，即．
（2）对求导，得．
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，令，得，
所以是函数的单调递减区间，
因为在上单调递减，所以，
得，解得，
所以实数a的取值范围是．
（3）令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
．
因为，所以．
因为，所以在上有唯一零点．
又，因为，所以，
则，
所以在上有唯一零点．
综上，函数有两个零点．
【题型三】判断函数零点的大小
【例3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（ ）
A．B．
C．D．与无法比较大小
【答案】C
【分析】将函数有两个零点问题转化为方程有两个解的问题，先对函数求导，判断单调性和的范围，然后判断并证明与-3的大小比较，最后得到答案.
【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的根．
设，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又因为当时，，当时，，所以．
因为可以趋近于无穷小，所以猜测，下面给出证明．
先证当时，．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
由知，当时，，即，所以．
再证当时，．
令，则．
令，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增．
因为，所以当时，，即，
所以．
所以，所以．
故选：C．
【举一反三】【变式1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数有且仅有两个不同的零点，则（ ）
A．当时，，B．当时，，
C．当时，，D．当时，，
【答案】B
【分析】令导函数解得或，由，函数有两个不同的零点，则，从而得出的关系，再分和分别讨论即可得出答案.
【详解】由，解得或
若，则，则在上单调递增，不满足题意
所以，则，所以或，函数取得极值
又，由有两个不同的零点，所以
所以为的一个零点.
由，解得，则
若，则且为的极大值点，当，
则的大致图像如图. 则为的图像与轴的另一交点,显然
则
所以，所以，故选项C,D不正确.

若，则且为的极大值点，当，
则的大致图像如图. 则为的图像与轴的另一交点,显然
则
所以，所以，故选项A不正确,选项B正确
故选：B
【变式2】（多选）（2023·广西·模拟预测）已知方程（）有两个不同的根，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，得到其单调性即可判断A，构造即可判断BCD.
【详解】方程（）等价于方程，
构造函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，因此需满足，即.
当时，，
，
由以上可知，当时，分别在，上各有一个零点，因此选项A正确，
构造函数（），则，
因此在上单调递减，易知，由A易知，则，
即成立，又，则，因此，即，
因此选项B，D正确；
由，即，得，不一定成立，故选项C错误.
故选：ABD.
【变式3】（多选）（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．，使得的图象是中心对称图形
B．当时，有三个不同的零点
C．若有三个不同的零点、、，则有
D．若有三个不同的零点，，，且，则
【答案】BC
【分析】利用函数的定义域可判断A选项；根据有三个不同的零点，求出的范围，可判断B选项；利用函数的解析式和极值点可判断C选项；先证明出，，利用导数分析该函数的定义域、图象以及基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
故不，使得的图象是中心对称图形，A错；
对于B选项，，，
因为函数有三个不同的零点，且，故不单调，
即函数上存在极值点，所以，解得，
由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、，
因为，故，
当时，；当时，.
所以，函数有三个零点时，，B对；
对于C选项，因为，且，
不妨设，则，且，，
所以，则，所以，故，C对；
对于D选项，由题意可知，
构造函数，，则，
故函数在上为增函数，故，
所以对任意的恒成立，
所以，
不等式两边同时除以可得，注意到，可得，D错.
故选：BC.
【题型四】与零点有关的求值或范围问题
【例4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．e
【答案】D
【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案.
【详解】令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又当时，，
而，所以；
由，得，
所以在单调递增，
由，得，
则.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】令，函数定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大，
由有两个零点，得，即，
函数在上都递增，则函数在上递增，
，因此存在，使得，
则不等式成立时，的最小整数值为3，即，
由，得，，
当且仅当，即时取等号，B正确.
故选：B
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
【变式2】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数有零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题的关键是根据的几何意义，将函数在上有零点的问题，转化成原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，即可求出的最小值.
【详解】函数的定义域为.
设是在上的零点，
可得，即，
即点在直线上.
可理解为点到原点的距离的平方.
所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，
即在上能成立，
即在上能成立.
令，则，
令，因为，所以解得.
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，，
即的最小值为.
故答案为：
【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数.
（i）当时，求的最大值；
（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性即可；
（2）（i）利用导数分析函数的单调性求解最值即可；
（ii）分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围即可.
【详解】（1）由得 ，
当时，，在和单调递增；
当时，令，则，解得或；
令，则，解得或；
综上，当时，的单调递增区间为和；
当时，的单调递增区间为和，
递减区间为和.
（2）
则.
（i）当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点，
，
当时，由（i）知，，故没有零点；
当时，令，，单调递减；
令，，单调递增；
此时，，故没有零点；
当即时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以在上单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当即时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
此时，
又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，的取值范围为.
好题必刷
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
则的草图如下：
由图象可得函数的零点个数为.
故选：C.
2．（2025·海南·模拟预测）记函数的零点分别为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】注意到，结合单调性可得
【详解】由题可得，
注意到，
则，又注意到在R上单调递增，
则.
故选：A
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知、，且，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定、的大小
【答案】A
【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系.
【详解】令，则，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在定理得，
令，则，
由上面的求解可知在上单调递增，
且存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故的零点，，所以.
故选：A.
4．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解.
【详解】由题意可得在上有唯一解，即，
令，则，则，
令，则，
则，
当时，的，开口向上，恒大于零，
所以为递增函数，为递减函数，
因为，所以在上无解；
当时，必须成立，若，会出现图象的情况，
即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且），
所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得，
又，所以的范围为.
故选：B
二、多选题
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在负数，使得没有零点B．若恰有个零点，则
C．若恰有个零点，则D．当时，恰有个零点
【答案】AD
【分析】根据题意将函数的零点转化为两个函数的交点，即曲线：与直线：的交点，易知直线过定点，求出直线与曲线的切点，结合图象写出在不同值的情况下，直线与曲线的公共点情况，即可得到函数的零点情况，再逐一判断即可.
【详解】由题意，的零点个数，即的根的个数，等价于的解的个数，等价于曲线：与直线：的交点的个数.
曲线：时，，时，.
直线：过定点.
当时，设直线与曲线的切点为，则，得，则切点坐标为，此时.
当时，设直线与曲线的切点为，则，得，则切点坐标为，此时.
当直线绕着定点转动时，直线与曲线的公共点个数即为的零点个数.
如图可知，时，无零点；时，有个零点；
时，有个零点；时，有个零点；
时，有个零点；时，有个零点.
存在负数，使得没有零点，故A正确；
若恰有个零点，或，故B错误；
若恰有个零点，则或，故C错误；
当时，恰有个零点，故D正确.
故选：AD.
6．（2025·江苏南通·三模）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．的对称中心为
C．过点作曲线的切线有三条
D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
【答案】AB
【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确；
对于B中，因为函数为奇函数，关于对称，
所以函数关于中心对称，所以B正确；
对于C中，作出的大致图象，如图所示，
当时，为上凸函数，在拐点处的切线为，
它与恰交于；
当时，为上凹函数，，
过只能作的两条切线，所以C错误；
对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减；
要使有零点，则只需，解得，
当时，大致图象如下
可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误.
故选：AB．
三、填空题
7．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是
【答案】1
【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可.
【详解】因为有唯一解，
所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，
直线过定点，
画出的图象上与直线的图象如图，
由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；
当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；
当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，
设切点坐标为，因为，
所以，
故答案为：1.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数有两个零点这一条件，可知极大值必大于0，然后联立零点方程，通过变量替换，将问题转化为关于的方程，然后通过两次构建新函数求得范围.
【详解】函数，有两个零点，求导得：.
当时，，此时在上单调递增，不合题意.
所以.令，则.
为了使得函数有两个零点，则极大值，所以.
因为函数，有两个零点，
所以，即
两式相减得.
因为，令，则，那么
，两式相减得，所以①.
两式相除可得：，即，所以.
两边同时取对数得到：，化简得：②.
①②联立可得：，所以令，则.
因为，因为，
设，则，故在为减函数，
故，故为函数，故.
令，所以，所以在上单调递减，
又，所以，所以.
所以的取值范围为.
令，则，所以在上单调递增，
所以.
所以综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
9．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据和的符号，将分为三个区间，，，并得到对应的不同的表达式，当时，无解；当时，有唯一解，通过分离常数得到，借助导数得到在上的值域，即可得到的取值范围；当时，将转化成关于的二次函数在上恰有两解的问题，即可求出的取值范围.
【详解】①当时，
所以，，
，
解得，不符合题意，所以在上无解.
②当时，，
所以，，，
令，所以，
即
令，所以，
所以，所以在单调递增，
所以，即.
此时在上有唯一解；
③当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以在上有两解，
即在上有两解，
即在上有两解.
令
所以，即
解得，
综上①②③，所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减．
(2)1．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围.
【详解】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
11．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点到直线的距离，根据导数即可求解；
（2）若，证明函数的零点的个数与的零点个数相同，求出，令，证明在单调递增，在上单调递减，据此即可求解.
【详解】（1）点到直线的距离为，
令，令，
令得，
当时为极大值，
当时，，
当时，，
，所以，
所以对应最小距离为；
（2）若，
定义域为，令可得，
则函数的零点的个数与的零点个数相同，
， 再令，
则，所以在单调递减，
又因为，在单调递增，在上单调递减，
则，，
当，所以当时恒成立，无零点，
当时，有1个零点，
当时，在和分别有1个零点，
即有2个零点，当时，
在有1个零点，在上，
恒成立，即只有1个零点；
综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点.
12．（2025·云南·模拟预测）已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式.
（2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案.
（3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】（1）函数，求导得，
则，
解得，所以的解析式为.
（2）由（1）得，则，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，
要使在内有两个零点，当且仅当，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
①当时，，显然成立，此时；
②当时，恒成立，令，
求导得，而当时，恒成立，
由得；由得，在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，取得最小值，则；
③当时， 恒成立，令，此时，
求导得，令，求导得，
函数在上单调递增，又，
由零点存在定理得存在，使得，即，
由，得，由，得，在上递增，在上递减，
当时，取得最大值，且，则，
于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为.
13.（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明在内存在唯一零点；
(3)若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值．
【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3)3
【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得方程；
（2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在性定理可证；
（3）参变分离，利用导数求函数的最小值，结合可得.
【详解】（1）因为，所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即
（2）因为，所以，
当时，，所以在内单调递增，
又，所以在内有一个零点，
所以在内存在唯一零点.
（3）当时，，所以不等式，
记，则，
由（2）知，存在使得，得
且当时，，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，因为，所以，
又，所以，所以整数k的最大值为3.
题型方法
题型一 利用导数判断函数零点个数
题型二 根据零点情况求参数（范围）
题型三 判断函数零点的大小
题型四 与零点有关的求值或范围问题
解题技巧
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
解题技巧
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围