2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训10导数中的极值点偏移问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训10导数中的极值点偏移问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共10页。试卷主要包含了极值点偏移的定义，极值点偏移问题的一般形式，处理极值点偏移问题的方法等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc208845244" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc208845244 \h 3
\l "_Tc208845245" 题型一：加法型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845245 \h 3
\l "_Tc208845246" 题型二：减法型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845246 \h 10
\l "_Tc208845247" 题型三：乘积型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845247 \h 14
\l "_Tc208845248" 题型四：商型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845248 \h 20
\l "_Tc208845249" 题型五：平方型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845249 \h 25
\l "_Tc208845250" 题型六：综合型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845250 \h 30
\l "_Tc208845251" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc208845251 \h 36
\l "_Tc208845252" 巩固过关 PAGEREF _Tc208845252 \h 36
\l "_Tc208845253" 创新提升 PAGEREF _Tc208845253 \h 47
一、极值点偏移的定义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如的极值点为，的两根为，且有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若，则极值点偏移．
若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同，如下图所示．
故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏如上左图；
若，则称为极值点右偏如上右图．
二、极值点偏移问题的一般形式
1.若函数存在两个零点且，求证：（其中为的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（其中为的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
三、处理极值点偏移问题的方法
（1）对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
①定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
②构造函数，即对结论型，构造函数或；
③对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
④判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
⑤比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
⑥转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
（2）差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（3）比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（4）对数均值不等式法
应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型一：加法型极值点偏移问题
典例1-1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的值域；
(3)若关于的方程在内有两个根，证明：．
典例1-2．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数有2个不同的零点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
变式1-1．已知函数
(1)求函数在处切线方程；
(2)若有两解，，且，求证：．
变式1-2．已知函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．
题型二：减法型极值点偏移问题
典例2-1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．
变式2-1．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，求证：．
变式2-2．已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)若，求证：．
题型三：乘积型极值点偏移问题
典例3-1．已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
典例3-2．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
变式3-1．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
变式3-2．已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
题型四：商型极值点偏移问题
典例4-1．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程有两个实根，，求证：．
变式4-1．已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．
变式4-2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.
题型五：平方型极值点偏移问题
典例5-1．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
典例5-2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
变式5-1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
变式5-2．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
题型六：综合型极值点偏移问题
典例6-1．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
变式6-1．已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
变式6-2．已知函数（），其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求x的取值范围；
（3）当时，若，为函数（）的两个零点，试证明：.
巩固过关
1．（多选）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ）
A．实数的取值范围是B．
C．D．
2．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
3．已知函数．
(1)若只有一个零点，求的值；
(2)若有两个零点，证明：．
4．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．
5．设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
6．已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．
7．已知函数在上有两个极值点.
(1)求的取值范围;
(2)求证：.
创新提升
1．已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
3．已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
重难点专训10 导数中的极值点偏移问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc208845243" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc208845243 \h 1
\l "_Tc208845244" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc208845244 \h 3
\l "_Tc208845245" 题型一：加法型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845245 \h 3
\l "_Tc208845246" 题型二：减法型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845246 \h 10
\l "_Tc208845247" 题型三：乘积型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845247 \h 14
\l "_Tc208845248" 题型四：商型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845248 \h 20
\l "_Tc208845249" 题型五：平方型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845249 \h 25
\l "_Tc208845250" 题型六：综合型极值点偏移问题 PAGEREF _Tc208845250 \h 30
\l "_Tc208845251" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc208845251 \h 36
\l "_Tc208845252" 巩固过关 PAGEREF _Tc208845252 \h 36
\l "_Tc208845253" 创新提升 PAGEREF _Tc208845253 \h 47
一、极值点偏移的定义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如的极值点为，的两根为，且有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若，则极值点偏移．
若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同，如下图所示．
故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏如上左图；
若，则称为极值点右偏如上右图．
二、极值点偏移问题的一般形式
1.若函数存在两个零点且，求证：（其中为的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（其中为的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
三、处理极值点偏移问题的方法
（1）对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
①定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
②构造函数，即对结论型，构造函数或；
③对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
④判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
⑤比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
⑥转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
（2）差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（3）比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（4）对数均值不等式法
应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型一：加法型极值点偏移问题
典例1-1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的值域；
(3)若关于的方程在内有两个根，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
所以，
又，
故所求切线方程为，即；
（2）法1：由（1）知，
，
，
①当时，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以；
④当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在上的值域为．
法2：由（1）知，
因为，
，
所以
，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，所以；
当时，，，所以．
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在上的值域为．
（3）证明：由（2）知在上单调递增，在上单调递减，
所以，要证，只需证，
因为，所以，所以只需证，
因为，所以只需证．
令，
则
．
因为，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
又，所以，所以，问题得证．
典例1-2．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数有2个不同的零点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
令，得，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，，所以，
所以恒成立，
即在上单调递增；
故单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，，
∴恰有2个正实数根，，
令，则与有两个不同交点，
∴，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，又，
当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，
则图象如下图所示，
∴当时，与有两个不同交点，
∴实数a的取值范围为．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，，
∴，，
∴，则，
不妨设，
要证，则需证，
∵，∴，∴，则只需证，
令，则只需证时，恒成立，
令，
∴，
∴在上单调递增，∴，
∴当时，恒成立，
∴原不等式得证．
【点睛】与2025年新课标Ⅱ卷数学真题第18题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题；构造函数是解决极值点偏移问题的方法之一.
变式1-1．已知函数
(1)求函数在处切线方程；
(2)若有两解，，且，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，则，又，
所以处切线方程为：，即.
（2）因为，所以当时，，即单调递增，
，，即单调递减.
又，，时，，
先证，
由可知：，要证，
也就是要证：，
令，，
则，
所以在区间内单调递增，，则，即，即；
再证，
由（1?）可知曲线在点处的切线方程为，
令，
则，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得极大值为0，
故当时，，即，，
则，即，
又，，
∴.
综上，成立，得证.
变式1-2．已知函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，
，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，若，则，若，则，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，单调递增区间为，无递减区间；
当时，单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）由已知可得，可得，
由可得，要证，即证，
即证，即证，
由题意可知，令，即证，
构造函数，其中，即证，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
题型二：减法型极值点偏移问题
典例2-1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，，
且，令，可得，
当，即时，可知在内恒成立，
即在内恒成立，所以在内单调递增；
当，即时，由解得或，
由可知，
若，；若，；
所以在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，可得，，
由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减，
由题意可得：，
因为，
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递减，
则，即；
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递增，
则，即；
由和可得.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
变式2-1．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，求证：．
【答案】(1)1；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，，所以，
依题意有，即，解得，此时，
所以曲线在点处的切线方程为，与平行．
所以实数a的值为1．
（2）令，方程的判别式．
若，即，恒成立，
即对任意，，所以在上单调递增；
若，即或，
当时，在上恒成立，
即对任意，，所以在上单调递增；
当时，令，得或；
令，得．
在上，；在上，．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，
当时，在定义域上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
（3）由整理可得，
因为，，所以，因此，
因为，所以，
令，则，所以，，
所以，
要证，需证，即证，即，
由（2）知时，在上单调递增，所以时，，
所以，所以．
变式2-2．已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为．
(2)证明见解析
【详解】（1）定义域为，，
令，解得或，
当时，；当时，．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
的极大值为，极小值为．
（2）证明：由（1）知．
令，则
．
令，则．
令，则．
在上恒成立，在上单调递增，
，在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．
又，．
在上单调递增，，，即．
令，则
．
在上单调递增，
在上恒成立，
在上单调递增，，
对任意恒成立．
．又．
在上单调递增，且，
．由，得，
，．
题型三：乘积型极值点偏移问题
典例3-1．已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明.
典例3-2．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析.
【详解】（1）依题意，，
设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，
切线方程为，而点在切线上，
则，即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有2个零点，
求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，
当时，令，求导得，函数在上单调递减，
则，，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是.
（2）①由（1）知，，
由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根
所以函数有两个极点时，的取值范围是.
②由，即，得，
要证明，只需证明，
而，
令，则，欲证明，
即证明，只需证明即可，
令，
求导得，
则在时单调递增，故，
则，令在时单调递增，则，
因此，即，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
变式3-1．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
解得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围为．
（2）不妨设，则由（）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即．
变式3-2．已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
(3)①；②证明见解析
【详解】（1）当时，，定义域为，
若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为
（2）函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
（3）①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，所以实数a的取值范围为．
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
题型四：商型极值点偏移问题
典例4-1．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程有两个实根，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），，
又，则有，
即曲线在处的切线方程为；
（2）由题意可得在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，，故在上单调递增，
则当时，，
当时，，故在上单调递增，
有，符合要求，
当时，由，，
则存在，使，即当时，，
当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不符合要求，故舍去，
综上所述，，故实数的最大值为；
（3），
由，即有有两个实根，，
令，，
当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去；
当，则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有，即，
又，
不妨令，则有，
有，令，，即有，
则有，即，
即，则要证，只需证，
即证， 令，即证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，故，
即有在时恒成立，故得证；
由（2）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则当时，，即，
由，则、，
故，，
则，，
又，即，即，
即，则有，
整理得，即，即，
即；
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令，，从而将证明转换为证明.
变式4-1．已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．
【答案】(1)f（x）在（0，+∞）上单调递增；
(2)3
【详解】（1）函数的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a≤e时，令，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则，
易知，当0＜x＜lna时，，g（x）单调递减，
当x＞lna时，，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，
∴，在（0，+∞）上单调递增；
综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）依题意，，则，
两式相除得，，设，则t＞1，x2＝tx1，，
∴，，
∴，
设，则，
设，则，
∴在（1，+∞）单调递增，则，
∴，则h（t）在（1，+∞）单调递增，
又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，
∴t∈（1，3]，即的最大值为3．
【点睛】思路点睛：对于带参函数讨论单调性的问题，一般在求导后结合对参数分类讨论进行分析；导数问题中带有不等式求范围或最值问题，一般先根据条件转化为它的等价条件，结合式子特征构造合适的函数，再求导结合单调性分析最值.
变式4-2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为
（2）解：因为，故，
即，故，
设，则，
不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明： .
证明如下：
若，恒成立；
若， 即 时，
要证：，即证，而，即证，
即证：，其中
设，，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，
所以成立，
综上，成立.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值点偏移问题，考查化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是难题．本题第二问解题的关键在于设，结合（1）将命题转化为已知，证明：，再根据极值点偏移问题求解即可.
题型五：平方型极值点偏移问题
典例5-1．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
（2）（i）由，得，
设，
由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
典例5-2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为是方程的两不等实根，，
即是方程的两不等实根，
令，则，即是方程的两不等实根.
令，则，所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以0，即0.
令，要证，只需证，
解法1（对称化构造）：令，
则，
令，
则，
所以在上递增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（对数均值不等式）：先证，令，
只需证，只需证，
令，
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，
所以，即，所以.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出．
变式5-1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
【答案】(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，因此，即，
又，则有，则，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
变式5-2．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）的定义域为，且，
则，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减.
综上可知：当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是.
（2）由，，，
由于，所以.设，
故：
，
令，则，
由于，故，则在上单调递增，
故，
即：所证不等式成立.
【点睛】多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法.
题型六：综合型极值点偏移问题
典例6-1．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
令，，则，
则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，当时，，当时，，
所以的取值范围为；
（2）要证，两边取对数，等价于要证，
由（1）可知，分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，，
又，
当时，可见时，，
所以在上单调增，
又，，
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
变式6-1．已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式6-2．已知函数（），其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求x的取值范围；
（3）当时，若，为函数（）的两个零点，试证明：.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）；（3）证明见解析.
【详解】（1），极值点即为的变号零点，
即，记，，
令，解得；令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，当，，当，，
①当时，在区间上恒成立，所以函数在区间和上单调递减；
②当时，则方程有两个根，记为，，不妨设，
因为，故，当或时，；当或时，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增.
③当时，则方程有一个根，记为，
当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2），即，
当时，左边右边（舍）；当时，，，
当时，，，即当时，，
于是，即当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减，所以（），
由于与在处相切，且为下凹函数，故；
（3），即，
∵，∴，
由（1）知：当时，先增后减，不妨设，
，，
构造函数，，
，
∴，即，
两式相减得：，
即，
，
∴，
即，两式相减得：，
即，∴，
即，
综上所述：.
巩固过关
1．（多选）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ）
A．实数的取值范围是B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】定义域为，有两个零点，可化为有两个解，
又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得，
设，则，在单调递增，
原方程可化为，
由于，，都在的单调增区间里，
所以，即，
设，，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，且恒大于0，
极大值，
可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，

由图像可得a的范围是，故A选项正确；
同样由图象可得，所以，故B选项正确；
，，
结合，可得，
设，由于，则单调递增,
所以，故C错误；
由于，
所以，
设，则,，
设，，
，
在单调递增，，
所以，
又由于，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
2．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)是上的“双中值函数”，理由见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
3．已知函数．
(1)若只有一个零点，求的值；
(2)若有两个零点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数，
令得
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
所以函数在时取最大值，
当时，函数;当 时，函数 ;
根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点，
易知，
所以；
（2）证明：
不妨设要证明：，只需要证，易知
由（1）可知在单调递增，在单调递减；
所以只要证明，即证，
设函数而，
并且在区间上
即在单调递增，所以
从而所以
所以
4．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，故，即；
（2），令，
由函数有两个极值点，
则有两个变号零点，
，
当时，，不符，故舍去；
当时，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，
又当时，，则，
故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当时，则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
有，则，故，
则有，，
则，即，同理，
则，故，
即，
由的最大值为，令，则有，
即，令，，
则
，
令，，
则恒成立，
故在上单调递增，则，
则，故在上单调递增，
则.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题.
5．设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【答案】(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
6．已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1），定义域为，，，.
因此，函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）令，得，由题意可得，
两式相加得，两式相减得，
设，可得，，
要证，即证，即，
令，即证.
构造函数，其中，，
所以，函数在区间上单调递增.
当时，，所以，.
因此，.
【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
7．已知函数在上有两个极值点.
(1)求的取值范围;
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），令得：，
令，
在有两个极值点，与在上有两个不同交点；
，令，则在上恒成立，
在上单调递增，又，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，当时，，
大致图象如下图所示，
结合图象可知：当时，与在上有两个不同交点，
，即的取值范围为.
（2）令，解得：或，；
①先证：；
要证，只需证，
，，又，在上单调递增，
只需证，又，即证，
令，则，
令，
则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递减，在上单调递减，
，，
在上单调递减，，，
在上单调递增，，
又，，即，则得证；
②再证：
若，则由知：；
若，只需证，
又，在上单调递增，只需证，
，只需证，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，
，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，，，
即，则得证；
综上所述：.
【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围、极值点偏移的问题；处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
创新提升
1．已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由题意可得，，
当时，，在上单调递增；
当时，由解得，由解得，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①等价于有两个零点，
令，则，在时恒成立，∴在时单调递增，
∴有两个零点，等价于有两个零点.
∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，∴，
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点；
若，得，∵，，
记，则，
记，则，
所以在上单调递增，所以，即，
故在上单调递增，所以，
即，
∴在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，的取值范围为.
②因为，不等式两边同时取对数化简可得，
要证即证：，
即证，由（2）中①知，，∴只需证.
∵，，∴，，
∴ ，只需证.
设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ，
令，，则 ，，
即当时， 成立.∴，即.
【点睛】关键点睛：第2问的第①小问关键在于将变形，结合的单调性，将问题转化为有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得的取值范围.第②小问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证.
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为.
又，令，得.
当，即时，在恒成立，.
当，即时，方程有两根，可求得：，
因为所以，
当和时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，.
①方程有三个不相等的实数根，
即方程在上有三个不相等的实数根.
令，
则，
令，求得：或，
则当或时，，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
存在极大值为，存在极小值，
且当时，，当时，.
要使方程有三个不相等的实数根，则
的取值范围为.
②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，
由①可得，要证，
只需证，即证，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，.
由，
构造函数，
，当时，在上单调递增，
，即在上恒成立，
又，则有：，
又，且在上单调递减，
，即.
构造函数，
，当时在上单调递增.
，即在上恒成立.
又，则.即，
由，则.
在上单调递增，.
又，则可证得：.
【点睛】关键点点睛：将证明转化为， ，结合极值点平移构造函数是本题关键.
3．已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为，令，可得，
当时单调递减；当时单调递增.
所以，所以.
（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，当时，

所以，
先证明.
记，则，
当时，，所以单调递减，
所以当时，，即，
故，即.
又，由单调性知：，即.
再证明.
记函数与和交点的横坐标分别为.
①当时，，故，所以，.
（或：的图象在的图象的下方，且两个函数在上都是减函数）
②当时，记，所以.
当时单调递减；当时单调递增.
又，当时，，即.
故
所以，故.
（或的图象在的图象的下方，且两个函数在上都递增）
综上，.
增
极大值
减