2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)第02讲常用逻辑用语(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)第02讲常用逻辑用语(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了全称量词与存在量词，全称量词命题和存在量词命题，命题“”的否定是 .等内容，欢迎下载使用。
知识清单
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反.
易错分析
【易错点一】求参数取值问题时范围大小混淆
【例1】（2005·湖南·高考真题）集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，将代入集合，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】因为，
当时，由可得，此时，
因为“”是“”的充分条件，则或，解得.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解.
【详解】由题意得“，”为真命题，
所以在区间内有解，
又知在区间内单调递增，所以，
故的取值范围为．
故答案为：
【变式3】（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】,
【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解.
【详解】由，可得，
由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件，
故
所以（等号不能同时成立），可得，
即实数的取值范围是,．
故答案为：,．
题型方法
【题型一】充分、必要条件的判断
【例1】（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线被圆截得的弦长可求得的值，根据的取值即可得结论.
【详解】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，即，解得或3，
所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件.
故选：A．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选：A
【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 .
【答案】
【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果.
【详解】因为函数，要使，
则周期，即，
因为，所以一个充分条件是，
故答案为：
【变式3】（2024·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）
【答案】充分不必要条件
【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可.
【详解】由，即同号，
当，则；
当，则；
所以充分性成立，
由，存在或使之成立，
但此时不成立，
所以必要性不成立，
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
【题型二】已知充分、必要条件求参数
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】，
，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
【举一反三】【变式1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解.
【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立，
即，
所以对任意的恒成立，故；
若，则，
所以，故为偶函数，
所以为偶函数的充要条件为.
故选：B．
【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由，得，即；
由，得，
因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且两个等号不同时取，解得.
故答案为：
【变式3】（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解，
（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.
【详解】（1）当时，由，得，
解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是
由，解得，
即q为真命题时，实数x的取值范围是．
所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为．
（2）由，得，
因为，所以，故p：．
若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
所以，解可得．故实数a的取值范围是
【题型三】全称量词命题与存在量词命题
【例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题可通过、、、、得出结果.
【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】判断出、的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，由可得或，则命题为真命题，
因此，和都是真命题.
故选：B.
【变式2】（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定为 ．
【答案】，
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故答案为：，
【变式3】（2023·贵州遵义·模拟预测）命题,则命题的否定为 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.
【详解】因为命题,
所以命题的否定为:.
故答案为:.
【题型四】已知命题真假求参数
【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：，，而函数的值域为，
由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，
所以的取值范围是.
故选：C
【举一反三】【变式1】（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“”的否定，
即命题“”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，
解得.
故选：C.
【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，为真命题，
所以，对，
又在上的最小值为，
，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.
【详解】若命题任意“，”为假命题，
则命题存在，为真命题，
因为时，，
令，则，
则在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
好题必刷
一、单选题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：C
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依次分析充分性和必要性即可得解.
【详解】若，则，充分性成立；
设，则有满足，
此时有，不满足，故必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
7．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式相关性质即可求解.
【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误；
由得能推出，
反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
由可得，
故，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得.
【详解】由正弦定理可得，即．
对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确；
对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误；
对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确；
对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误.
故选：AC．
9．（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，
B．，，且，有
C．，，且，有
D．，
【答案】AB
【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D.
【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且，
所以当时，恒成立，当时，恒成立，
所以，恒成立，故A正确；
对于B，，，且，都有，
所以，故B正确；
对于C，设，则，都有，故C错误；
对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但
所以，，故D错误.
故选：AB
三、填空题
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题写出答案即可．
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：.
11．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是 .
【答案】“，”
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，”
故答案为：，
12．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.
【详解】设，
则在单调递增，又，
所以，即，故.
则.
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．（2020·全国II卷·高考真题）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
①②③④
【答案】①③④
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
四、解答题
15．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可.
【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线，
所以.
先证充分性：因为，且，所以；
再证必要性：因为对于，，所以，即，从而.
综上可知，对于，的充要条件是.
16．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
（2）设实数且，求证：；（可以使用公式：）
（3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为，
所以表格如下：
（2）实数且，则，
因此，
所以.
（3）
，
依题意，对任意实数恒成立，
因此，
所以等式对任意实数恒成立的充要条件是.
易错分析
易错点一 求参数取值问题时范围大小混淆
题型方法
题型一 充分、必要条件的判断
题型二 已知充分、必要条件求参数
题型三 全称量词命题与存在量词命题
题型四 已知命题真假求参数
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，﹁p(x)
∀x∈M，﹁p(x)
解题技巧
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
解题技巧
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
解题技巧
含量词命题的解题策略
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
解题技巧
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围
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