2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)培优点04切(割)线放缩(学生版+解析)

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知识清单
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
题型方法
【题型一】单切线放缩
【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：恒成立；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用不等式对原函数放缩可证结化成立；
（2）令，，. 分，，三种情况讨论，求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，.
令，，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
.
.
当时，在上恒成立.
（2）令，，
则.
若对任意，恒成立，则.
令，，
.
①当时，.
由（1）知.在上恒成立，且不恒为0.
在上单调递增.
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
，符合题意.
②当时，.当时，，，
；当时，，，；
在上单调递增.
，
.∴存在，使得.
当时，，则在上单调递减；，则在上单调递减；
，则在上单调递减；
故当时，，不合题意.
③当时，.
若，由②知在上单调递增.
则存在，使得，且当时，，在上单调递增；
若，由②知在上单调递增.
当时，，单调递增.
当时，函数在上单调递增.
当时，，在上单调递减，
，在上单调递增.
故时，，不合题意.
综上所述，存在，使得任意，都有恒成立.
实数的取值范围为.
【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列满足，，记…，
(1)证明是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将条件式化简后结合等差中项公式即可证明；
（2）设等差数列的公差为d，可得，由裂项相消法结合求得d，从而即可求得；
（3）借助放缩后求和即可证明．
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，即，
所以数列为等差数列；
（2）设等差数列的公差为d，
因为，所以，则，
所以，
所以，
则，解得，所以；
（3）证明：设，
则当时，单调递减，当时，单调递增，
故，故当且仅当时取等号，
因此，
所以，
又因为,
故
【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数的解析式可知函数的定义域为及导函数，对分和两类讨论即可求解；
（2）由（1）知当时，，即，进而可得.令，对函数求导可知在上单调递增，可得，故，原不等式得证.
【详解】（1）由题知：，其定义域为，.
当时，则，在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）要证，即证.
由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
，.
令，，
∴在上单调递增，
∴当时，，即，
∴，即，
∴原不等式成立.
【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题.
研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想；
对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化.
【变式3】（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)具有，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“”的定义推理判断.
（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；
（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式推理得证.
【详解】（1）数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）函数，令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
【题型二】双切线放缩
【例2】已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式有且只有两个整数解，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个实数根，且，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）导数几何意义即可求得曲线在处的切线方程；
（2）问题转化为在上有且只有两个整数解，令，利用导数研究函数单调性，求实数的取值范围；
（3）不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与，设两割线与直线交点的横坐标分别为，可证明，，有，根据单调性，可得，有；不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线，同理可证.
【详解】（1）函数，时，，
，，
曲线在处的切线斜率为-2，切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）函数，定义域为，
若不等式有且只有两个整数解，即在上有且只有两个整数解，
令，则，
时，，单调递减；时，，单调递增，
，，，，
在上有且只有的两个整数解为和，
则有，所以实数的取值范围为.
（3）函数，定义域为，
，解得，解得.
函数在上递减，在上递增，，
所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与.
设两割线与直线交点的横坐标分别为.
解方程可得，，
当时，，；
当时，，
令，，
解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，．
，根据单调性，可得，
所以，，不等式左侧证明完毕.
不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线，
由（1）可知，曲线在处的切线方程为，
时，，
曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为，
切线和与的交点分别为．
同理可得，
综上可知，．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
【举一反三】【变式1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若，证明:在上恒成立；
(3)若方程有两个实数根，且，
求证:.
【答案】(1)的递减区间为，递增区间为.
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）对求导即可求出结果；
（2）即证，构造，即可证明；
（3）分别利用切线放缩进行证明.
【详解】（1）由，则时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以的递减区间为，递增区间为.
（2）因为，，令
所以，
下证，
令，
则，
当时,，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立；
（3）证明：先证右半部分不等式： ；
因为，，
所以；
可求曲线在和处的切线分别为和；
设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为
则
则；
因此.
再证左半部分不等式：.
设取曲线上两点，
用割线，来限制，
设直线与直线的交点的横坐标分别为，
则，且，
所以.
综上可得成立.
【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：
（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；
（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.
【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数，.
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：.
【答案】（1）；（2）证明过程见详解.
【分析】（1）化简不等式，构造新函数，问题转化为在时恒成立，利用导数分类讨论进行求解即可；
（2）对已知等式进行化简，得到，构造函数，求导，得到不等式，进而利用放缩法，结合换元法、构造新函数，利用导数进行证明即可.
【详解】（1），设，
因此原问题转化为当时，不等式恒成立，，
当时，，函数在时，单调递减，
所以当时，，所以不等式恒成立；
当时，，设，，当时，，所以函数此时是单调递增函数，且
因此函数与函数有唯一交点，设，显然，
因此当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，显然不等式不恒成立，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围是；
（2），
即，
设，，所以函数是增函数，
因为，是两个不相等的正数，所以不妨设，
因此有，即，
因此，
即，
，要想证明成立，只需证明，
因为，所以令，因此只需证明在时成立，即在时成立，设函数，，，所以当时，函数单调递减，因此当时，，即，因此成立，所以.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于由，联想构造函数，进而可以运用放缩法、换元法，通过导数的性质进行证明.
【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，，
(1)当，时，求函数在处的切线方程；
(2)若且恒成立，求的取值范围：
(3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义即求；
（2）利用参变分离法可得当时，，当时，，通过导函数研究函数的性质可得函数的大致图象，即得；
（3）利用放缩法可得，即证，再通过分析问题转化为证在上恒成立，然后利用导数即证.
【详解】（1）当，时，，，
∴，，
∴函数在处的切线方程为；
（2）由题意可知，当时，不等式显然成立，故；
当时，，当时，，
记，则，
∴函数的减区间为，函数的增区间为，
∴当时，，当时，
∴可得；
综上，的取值范围为；
（3）由上可知，，，
对于函数，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
∴，
又，
∴，即，
由，可得，
要证，即证，，
也即，
设，即证在上恒成立，
∵，
∴在上单调递增，
∴，成立
∴，
综上，.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
好题必刷
一、解答题
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数，其中．
(1)当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数在上的最大值为．
（i）求关于的表达式；
（ⅱ）证明：当时，在上恒成立．
【答案】(1)，
(2)（i）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）代入，辅助角公式化简，根据三角函数的性质判断单调区间和最小正周期.（2）（i）令，可得可得到关于的二次函数，讨论的取值，求出函数的最大值表达式；（ⅱ）由求，利用放缩法即可得出结论.
【详解】（1）当时，
可得：
的单调递增区间为
（2）（i）令，则可得．
令
当时，，故．
当时，，对称轴
①当时，
②当时，，故在上单调递减
③当时，，故在上单调递减
④当时，，故在上单调递减，在上单调递增．

综上，
（ⅱ）
当时，
而
．
2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”
(1)若，判断是否为上的“4类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”且，证明：，，.
【答案】(1)是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，对函数求导后进行分离参数，利用导函数研究函数的单调性和最值即可；
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【详解】（1）函数是上的“4类函数”，理由如下：
不妨设，所以，
，
所以是上的“4类函数”；
（2），，
由题意知，对于任意不同的都有，
不妨设，则，
故且，
所以为上的增函数，为上的减函数，
所以对任意的，即，
由，令，则，，
令得在上单调递增，，
由，令，
只需，，
令得在单调递增，
所以，
综上所述，实数a的取值范围为；
（3）证明：因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，当时，；
当时，因为，
所以
，
综上所述，，，.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数，且恒成立．
(1)求实数的取值集合；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知只需证明，利用导数研究函数的最小值即可；
（2）先利用（1）进行放缩，再构造函数证明即可.
【详解】（1）．
①当时，在上单调递减，
当时，，这与矛盾，不合题意.
②当时，
由得；由得，
则在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得唯一极小值即最小值．
又且
，解得，故实数的取值集合是．
（2）由（1）可知：时，，即对任意恒成立．
要证明：，
则只需要证明，
即．
令,，
令，
令，解得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
即函数在内单调递减，在上单调递增．
而
所以存在，使得，
当时，单调递增；
当时，单调递减．
当时，单调递增．
又，
对恒成立，即．
综上可得
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值.若有最小值，证明：；若没有最小值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)有，证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；
（3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数和不等式放缩，分别讨论函数的零点个数及最值.
【详解】（1）由，
可得，
所以曲线在处的切线斜率为.
（2）由题意知，易得在上单调递增，
当，即时，，所以在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当0时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
（3）证明：由，所以，
当时，，
因此当时，，
此时所以，所以单调递减.
此时显然有唯一零点，无最小值.
当时，
，
且当时，
，
由此可知此时不存在最小值.
从而当时，有唯一零点，无最小值；
当时，即当为偶数时，，
此时由，解得；由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
即，所以当时，没有零点.
由（2）知当时，对任意的恒成立，当且仅当时等号成立，所以，令，可得，
当时，
，
即.
从而当为偶数时，没有零点，存在最小值，且.
综上所述，当时，有唯一零点，无最小值；
当时，没有零点，存在最小值，且.
5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得.证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程.
(2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围.
(3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，证明题目问题.
【详解】（1）当时，，所以.
又因为，所以切线方程为.
（2）设，只需在时恒成立即可，
又，且，所以，即.
下面证明的充分性：
①当时，由，
令，所以，
记，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，所以恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）由函数.可得，
设，由，可得，则，
由（2）知，当时，，则时，，
所以，则，所以，
代入可得：，
则，所以.
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)有两个零点，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别讨论与，运用导数研究的最小值与0比较即可.
（2）运用导数研究函数的单调性进而可得函数的零点的范围，再结合（1）结论比较与大小即可.
【详解】（1）①当时，，
设，则，
设，则，
故在上为增函数，则，
即，则在上为增函数，
故，故，符合题意；
②当时，，
设，则，
因为，且当趋近于时，趋近于，
所以，使，
则当时，，则为减函数，
所以，即，
所以为减函数，则，不合题意．
综上所述，．
（2）易知的定义域为，，
易知在上为增函数，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
由题意可得：，且，解得，
由（1）知，当时，，
又因为，
所以当时，，
所以，
又因为的一个根为，
所以，
又因为，，在单调递增，所以，
又因为，则，
所以．
【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式策略
（1）将不等式转化为函数的最值问题；
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较；
（3）适当放缩证明不等式.
7．（2023·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求，；
(2)若函数有两个零点，，且，证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得到方程组，解得即可；
（2）设曲线在处的切线方程为，构造函数，利用导数说明恒成立，则，设的根为，则，即可得到，同理可求出在处切线，得出相同结论，求出的范围，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，所以，
依题意，所以，解得，.
（2）由（1）可知，令，有或，
，，，
设曲线在处的切线方程为，
则，
令，
则，令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，又，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以恒成立，则，
设的根为，则，又单调递减，
且，所以，
已知曲线在处的切线为，
令，则，
由前面说明的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以恒成立，所以，
设的根为，则，又函数单调递增，所以，所以，
所以，
要证，即证，
即证，即证，
由于，所以，证毕.
【点睛】关键点睛：本题关键是利用切线进行放缩，通过求出的值，通过得到的范围，同理通过求出处的切线，求出的值，通过得到的范围，从而求得的范围.
题型方法
题型一 单切线放缩
题型二 双切线放缩
解题技巧
该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
解题技巧
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明