2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)培优点01柯西不等式与权方和不等式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)培优点01柯西不等式与权方和不等式(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了二维形式的柯西不等式，二维形式的柯西不等式的变式，二维形式的柯西不等式的向量形式，已知，求的最小值为，求的最大值为等内容，欢迎下载使用。
知识清单
知识点1 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
2．二维形式的柯西不等式的变式
(1)eq \r(a2＋b2)·eq \r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
(2)eq \r(a2＋b2)·eq \r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
(3)(a＋b)(c＋d)≥(eq \r(ac)＋eq \r(bd))2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
3．二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)．
知识点2 权方和不等式
1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)≥eq \f(\r(a)＋\r(b)2,x＋y)(当且仅当x∶y＝eq \r(a)∶eq \r(b)时，等号成立)．
2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则 i=1naim+1bim≥(i=1nai)m+1(i=1nbi)m，当且仅当eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝…＝eq \f(an,bn)时等号成立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次．
题型方法
【题型一】柯西不等式
【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【变式2】（2021·浙江·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为 ；的最小值为 .
【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知.
(1)解不等式；
(2)若为的最小值，设，求的最小值.
【题型二】权方和不等式
【例2】（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【举一反三】【变式1】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【变式3】（2024·四川凉山·三模）已知函数的最小值为．
(1)求实数的值；
(2)求的最小值．
好题必刷
一、单选题
1．（2023·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
2．（2021·江西·模拟预测）若正数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·浙江·模拟预测）对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39B．52C．49D．36
二、多选题
5．（2021·江苏南通·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．.
C．的最大值为D．
三、填空题
8．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
9．（2020·浙江温州·二模）已知实数满足则的最大值为 .
10．（2023高三·全国·专题练习）求的最大值为
四、解答题
11．（2020·江西·模拟预测）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.
12．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：.
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
14．（2024·全国·模拟预测）已知均为正数，函数的最小值为3．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（，）.
(1)当，时，解不等式；
(2)若的最小值为6，求的最小值.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数．
(1)解不等式；
(2)若正数满足，证明．
17.（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.
题型方法
题型一 柯西不等式
题型二 权方和不等式
解题技巧
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法．
解题技巧
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键．
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式．
(3)关于带根号的式子，将分子变为eq \f(3,2)次，分母为eq \f(1,2)次．