2026年高考数学一轮复习核心题型讲义+培优专项练(新高考版)专题03利用导数证明不等式(学生版+解析)

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题型方法
【题型一】与隐零点有关的不等式证明问题
【例1】（23-24高三上·江苏·期末）已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：对，使得.
【变式2】（2025·江西南昌·一模）已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．
【题型二】通过函数放缩证明不等式
【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数.
(1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值；
(2)若在上恒成立，求a的最小值；
(3)证明：（且）.
【举一反三】【变式1】（2025·山西·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(3)证明：当时，都有．
【变式2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对，有，求的取值范围；
(3)证明：．
【变式3】（2020·河北石家庄·一模）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，且，证明：.
【题型三】双变量换元法转换为单变量
【例3】．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值．
【变式3】（2025·山东·模拟预测）“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件：①在区间上的图象是连续的；②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立．已知函数．
(1)，且，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，是否存在区间，使？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由；
(3)当时，设的两个极值点为，，且，证明：．
【题型四】同构函数问题
【例4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知函数，且有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
【变式3】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）
【题型五】极值点偏移问题
【例5】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）设函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个零点，证明：.
好题必刷
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则大小关系（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东济南·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，函数不存在极值点
B．对于任意的，函数都存在平行于直线的切线
C．当时，函数有且仅有一个极值点
D．当时，对于任意的，都有
三、填空题
6．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 .
7．（2023·四川成都·三模）已知函数，.当时，，则实数的取值范围为 ．
8．（2025·河北·模拟预测）已知实数满足不等式，则 .
四、解答题
9．（2025·河北邢台·三模）已知函数.
(1)当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据）
(2)若分别是的两个不等的极值点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
10．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
11．（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)若曲线与相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当时，证明：．
12．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
13．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则.
题型方法
题型一 与隐零点有关的不等式证明问题
题型二 通过函数放缩证明不等式
题型三 双变量换元法转换为单变量
题型四 同构函数问题
题型五 极值点偏移问题