2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第九章9.2用样本估计总体(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第九章9.2用样本估计总体(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了2　用样本估计总体，百分位数，平均数、中位数和众数，方差和标准差，总体方差和总体标准差，5，84，5，C错误；等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋xn).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差：s2＝1nnΣi=1(xi－x)2或1nnΣi=1xi2－x2.
(2)标准差：s＝1nnΣi=1(xi−x)2.
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝1NNΣi=1(Yi－Y)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1NkΣi=1fi(Yi－Y)2.
【名师点拨】
1.若x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq \(x,\s\up6(－))＋a.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( )
(2)一组数据的第p百分位数可以不唯一.( )
(3)方差与标准差具有相同的单位.( )
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√
【解析】(1)平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故该说法错误.
(3)方差是标准差的平方，故它们的单位不一样.
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A.平均数B.众数
C.百分位数D.标准差
【答案】D
【解析】标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.
3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A.86，84B.84.5，85
C.85，84D.86.5，84
【答案】D
【解析】将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数x＝79＋3×84＋86＋87＋93＋958＝86.5，因为84出现次数最多，所以众数为84.
4.已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a＋b＝ .
【答案】10
【解析】因为10×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为6＋b2，其极差为8－a，所以6＋b2＝8－a，解得2a＋b＝10.
【名师点拨】
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx＋a，方差为m2s2.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
【必练核心题型】
题型一 样本数字特征的估计
【典例】1.(多选)随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A.平均数为101B.极差为9
C.方差为8D.第60百分位数为101
【答案】ABD
【解析】平均数为
97＋98＋99＋100＋101＋103＋104＋1068＝101，A正确；
极差为106－97＝9，B正确；
方差为(97−101)2＋(98−101)2＋…＋(106−101)28
＝16＋9＋4＋1＋0＋4＋9＋258＝8.5，C错误；
因为60%×8＝4.8，故第60百分位数为101，D正确.
【典例】2.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是( )
A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
【答案】C
【解析】北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
地铁运营里程的中位数是558.6＋5162＝537.3(公里)，B错误；
地铁运营线路条数的平均数为20＋27＋18＋14＋17＋12＋14＋10＋14＋810＝15.4，C正确；
地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，D错误.
【解题技巧】计算一组n个数据第p百分位数的步骤
【变式训练】
变式1.(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，18，20，32，则( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
【答案】ACD
【解析】极差为32－7＝25，故A正确；
7×75%＝5.25，故75%分位数为20，故B错误；
平均数为7＋12＋13＋17＋18＋20＋327＝17，故C正确；
去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.
变式2.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是 ；中位数是 .
【答案】96 92.5
【解析】这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出现的次数最多，则这组数据的众数是96，中位数是92＋932＝92.5.
题型二 总体集中趋势的估计
【典例】1.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比【典例】)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
【解析】
(1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.
本次考试的及格率约为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)得分在110分以下的学生所占的比【典例】为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130分以下的学生所占的比【典例】为0.66＋0.014×20＝0.94，
所以第80百分位数位于[110，130)内，
由110＋20×0.8−−0.66＝120，估计第80百分位数为120.
(3)由题图可得，众数的估计值为100.
平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.
【解题技巧】频率分布直方图中的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
【变式训练】
变式1.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50，60)内的学生有10人.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).
【解析】
(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60)内的频率为10100＝0.1，
则a＝0.110＝0.01，
由各组频率之和为1，可知(0.005＋0.01＋b＋0.025×2＋0.005)×10＝1，
解得b＝0.03.
(2)前3组的频率之和为(0.005＋0.01＋0.03)×10＝0.450.5，
所以样本数据的中位数在第4组，设为x，
所以0.45＋(x－70)×0.025＝0.5，解得x＝72，
估计样本数据的中位数是72，
估计平均数是(45＋95)×0.05＋55×0.1＋65×0.3＋(75＋85)×0.25＝72.
题型三 总体离散程度的估计
【典例】1.某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
(1)求z，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
【解析】
(1)由题意得zi＝xi－yi 的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
则z＝110×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)由(1)知，z＝11，2s210＝26.1＝24.4，
故有z≥2s210，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【解题技巧】总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.
【变式训练】
变式1.某校随机抽取了100名学生参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名学生的成绩(单位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知b＋0.03＝2a.
(1)求a，b的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30百分位数；
(2)已知成绩在[80，90)内所有学生的平均成绩为84分，方差为6，成绩在[90，100]内所有学生的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在[80，100]内所有学生的平均成绩x和方差s2.
【解析】
(1)因为在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，
所以(0.005＋0.01＋b＋0.03＋a＋0.01)×10＝1，所以a＋b＝0.045，
所以a＋b＝0.045,b＋0.03＝2a,解得a＝0.025,b＝0.02,
因为(0.005＋0.01)×10＝0.15，(0.005＋0.01＋0.02)×10＝0.35，
所以参加竞赛的学生成绩的第30百分位数在[60，70)内，设为x，
所以(0.005＋0.01)×10＋(x－60)×0.02＝0.3，解得x＝67.5.
(2)成绩在[80，90)和成绩在[90，100]内的学生人数之比为0.025∶0.01＝5∶2，
所以x＝5×84＋2×985＋2＝88，
s2＝5×[6＋(84−88)2]＋2×[10＋(98−88)2]5＋2＝3307.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的( )
A.极差B.平均数
C.中位数D.众数
【答案】C
【解析】由题意得众数为2，极差为5－1＝4，平均数为1＋2＋2＋3＋4＋56＝176，中位数为2＋32＝2.5.
2.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为9，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差为( )
A.9B.18
C.19D.36
【答案】D
【解析】∵x1，x2，x3，…，xn的方差为s2＝9，∴2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差为22·s2＝4×9＝36.
3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则( )
A.a＝0.1
B.车速众数的估计值是70
C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值
D.车速中位数的估计值是62.5
【答案】D
【解析】由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A错误；
车速在[60，70)内的频率最大，所以车速众数的估计值是65，B错误；
车速的平均数约为0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，车速的中位数m∈[60，70)，则(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，C错误，D正确.
4.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数，方差B.中位数，方差
C.中位数，众数D.平均数，众数
【答案】C
【解析】由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3(人)，成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25，26位的两个数都是98分，所以数据的中位数为98，所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3.D，E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为( )
A.175B.145
C.173D.143
【答案】A
【解析】设A，B，C三人的体质指数分别为a，b，c，由于A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故(a−20)2＋(b−20)2＋(c−20)23＝3，则(a－20)2＋(b－20)2＋(c－20)2＝9，由于a＋b＋c＋18＋225＝20×3＋18＋225＝20，故5个人的体质指数的平均数为20，故15[(a－20)2＋(b－20)2＋(c－20)2＋(18－20)2＋(22－20)2]＝9＋4＋45＝175，故方差为175.
6.已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )
A.中位数不变
B.若x1＝1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5
C.平均数不变
D.方差变小
【答案】B
【解析】原来的中位数与现在的中位数均为x5＋x62＝2x1＋92＝x1＋4.5，故中位数不变，故A正确；
当x1＝1时，数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因为10×75%＝7.5，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误；
由于xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，故x2＝x1＋1，x3＝x1＋2，…，x9＝x1＋8，x10＝x1＋9，原来的平均数为x1＋x2＋…＋x1010＝10x1＋4510＝x1＋4.5，去掉x1，x10后的平均数为x2＋x3＋…＋x98＝8x1＋368＝x1＋4.5，平均数不变，故C正确；
原来的方差为110[(x1－x1－4.5)2＋(x2－x1－4.5)2＋…＋(x10－x1－4.5)2]＝8.25，去掉x1，x10后的方差为18[(x2－x1－4.5)2＋(x3－x1－4.5)2＋…＋(x9－x1－4.5)2]＝5.25，方差变小，故D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( )
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是1.8
D.数据的80%分位数为4
【答案】AC
【解析】数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.
该组数据的极差为5－1＝4，故A正确；
众数为3，平均数为1×2＋2＋3×4＋4＋5×210＝3，两者相等，故B错误；
方差为110×[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×2]＝1.8，故C正确；
∵10×80%＝8，∴这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误.
8.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年11月，中国市场智能手机新机激活量为2 871万台，同比增长12.9%(同比增长率＝本期数据−去年同期数据去年同期数据×100%)，具体分为7个品牌排名，统计数据如表所示，则下列说法正确的有( )
A.该月7个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4
B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C.该月D品牌新机激活量同比增长率大于75%
D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2 600万台
【答案】BCD
【解析】同比新机激活量增长数据的极差为172.9－(－47.5)＝220.4，故A错误；
该月新机激活量数据的平均数为2 8717≈410.14，该月7个品牌新机激活量数据的中位数为401.4，故B正确；
去年同期D品牌新机激活量为401.4－172.9＝228.5，所以同比增长率为172.9228.5×100%≈75.67%>75%，故C正确；
设去年同期中国市场智能手机新机激活量为x，由题意可得2 871−xx×100%＝12.9%，解得x≈2 543