2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系

培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系

 [选题明细表]

1.直线y=kx(k>0)与双曲线-=1没有交点,则k的取值范围为(　C　)

A.[,+∞) B.(2,+∞)

C.[,+∞) D.(0,)

解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,

根据双曲线的性质可知直线y=kx(k>0)与双曲线-=1没有交点,满足k≥.

2.已知A,B为抛物线C:y2=x上的两点,且|AB|=2,则AB的中点横坐标的最小值为(　C　)

A.      B.     C.    D.1

解析:设直线AB的方程为x=ky+b(b≥0),A(x1,y1),B(x2,y2).

联立方程组消去x,得y2-ky-b=0,则y1+y2=k,y1y2=-b,

Δ=k2+4b>0.

因为|AB|==2,

所以(1+k2)(k2+4b)=4,得b=-.

因为x1+x2=k(y1+y2)+2b=k2+2b,

所以AB的中点的横坐标x0==+b=+=+-≥

2-=,

当且仅当=,

即k=±1时,等号成立,

所以当k=±1时,x0取得最小值.

3.(2022·云南昆明模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|AB|=,写出满足条件的一个点A或点B的坐标为　　　　. 

解析:由题意,得抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),

设直线AB的方程为x=my+1,

A(x1,y1),B(x2,y2),联立

消去x,得y2-4my-4=0,

则y1+y2=4m,y1y2=-4,

故|AB|=·=,

解得m=±.

当m=时,y2-3y-4=0,解得y=-1或4,

故两交点坐标为(4,4),(,-1);

当m=-时,y2+3y-4=0,解得y=-4或1,

故两交点坐标为(4,-4),(,1).

答案:(4,4)(或(,-1)或(4,-4)或(,1))

4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,

B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　　　　　. 

解析:法一　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以

即

因为kAB=kMN,所以==-.

将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,

得相减得

+=0,

由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,

所以·=-,

即·(-)=-,整理得m2=2n2.①

又|MN|=2,所以由勾股定理,

得m2+n2=12,②

由①②并结合m>0,n>0,

得所以直线l的方程为+=1,

即x+y-2=0.

法二　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).

由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,

设为Q,则Q(,),

则kAB==-,kOQ==.

由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即(-)·=-,以下同法一.

答案:x+y-2=0

5.设F1,F2分别是双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线l:x-my-t=0(m,t∈R)与Γ的右支交于M,N两点,Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为.

(1)求双曲线Γ的方程;

(2)当|MF1|=|F2F1|时,求实数m的值;

(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P,当=时,求△PMN面积S的值.

解:(1)由Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为,得

解得

则所求的双曲线Γ的方程为x2-=1.

(2)由(1)得直线l:x-my-t=0过点F2(2,0),

所以t=2.

由|MF1|=|F2F1|=4,得等腰三角形F1MF2底边MF2上的高的长度为=.

又F1到直线l:x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高,则=,即m2=,则m=±.

(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),由

消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0,

因为有两个交点,所以Δ>0,且m2≠,

则y1+y2=,y1y2=-.

又=,即y2=-2y1,

则-y1=,2=,

即2(-) 2=,则m2=,

又M关于坐标原点O的对称点为P,

则S=2S△OMN=2|y1-y2|=2=2=

=,

即所求的△PMN面积为.