2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第九章9.3成对数据的统计分析(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第九章9.3成对数据的统计分析(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了3　成对数据的统计分析，变量的相关关系，样本相关系数，一元线性回归模型，列联表与独立性检验，3－0，5－6，12－3等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r＝n∑i=1(xi−x)(yi−y)n∑i=1(xi−x)2n∑i=1(yi−y)2.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r0，所以变量y与x正相关，即r>0，可知r＝1，故D错误.
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
【典例】1.氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2014~2022.
已知9∑i=1yi≈12 000，9∑i=1(yi−y)2≈1 100，9∑i=1(ti−t)2≈7.7，9∑i=1tiyi≈51 800.
(1)可否用一元线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和样本相关系数加以说明；
(2)若根据所给数据建立经验回归方程y^＝－138t＋2 025，可否用此方程来预测2025年和2035年我国的氮氧化物排放量？请说明理由.
附：样本相关系数r＝n∑i=1tiyi−ntyn∑i=1(ti−t)2n∑i=1(yi−y)2.
【解析】
(1)从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系，
由题意知t＝19×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，
样本相关系数r＝9∑i=1tiyi−9ty9∑i=1(ti−t)29∑i=1(yi−y)2≈51 800−5×12 0007.7×1 100＝－8 2008 470≈－0.97.
故可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)可以预测2025年的氮氧化物排放量，但不可以预测2035年的氮氧化物排放量.
理由如下：
①2025年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测；
②2035年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.
命题点2 非线性回归模型
【典例】2.某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记w＝ln x.
参考数据：
参考公式：y关于x的经验回归方程y^＝b^x＋a^中，b^＝n∑i=1xiyi−nx yn∑i=1xi2−nx2，a^＝y－b^x.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.
【解析】
(1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型.
(2)w＝ln x，则y＝c＋dln x，即y＝c＋dw，
y＝20∑i=1yi20＝102.420＝5.12，w＝20∑i=1wi20＝5220＝2.6，
d^＝20∑i=1wiyi−20w y20∑i=1wi2−20w2＝272.1−20×2.6×5.12137−20×2.62≈3.26，
c^＝y－d^w≈5.12－3.26×2.6≈－3.36，
所以y^＝3.26w－3.36，
即y^＝3.26ln x－3.36.
(3)当x＝e2时，y^＝3.26ln e2－3.36＝3.16.
即大棚蔬菜亩产量约为3.16吨.
【解题技巧】求经验回归方程的步骤
【变式训练】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(摄氏度)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据(z＝ln y)：
(1)根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(摄氏度)的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y关于x的经验回归方程.
附：y^＝b^x＋a^中，b^＝n∑i=1(xi−x)(yi−y)n∑i=1(xi−x)2＝n∑i=1xiyi−nx yn∑i=1xi2−nx2，a^＝y－b^x.
【解析】
(1)由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长特点，
所以y＝cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程类型.
(2)将y＝cedx两边同时取自然对数，可得ln y＝ln c＋dx，即z＝ln c＋dx，
由题中的数据可得，7∑i=1 xizi－7x z＝33.6，
7∑i=1(xi−x)2＝7∑i=1xi2－7x2＝112，
所以d^＝7∑i=1xizi−7x z7∑i=1xi2−7x2＝33.6112＝0.3，则ln c^＝z－d^x＝3.6－0.3×27＝－4.5，
所以z关于x的经验回归方程为z^＝0.3x－4.5，故y关于x的经验回归方程为y^＝e0.3x－4.5.
题型三 列联表与独立性检验
【典例】1.(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表:
(1)求s,t;
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;
(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效?
附:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
【解析】
(1)s=100+80=180,t=80+70=150.
(2)∵80180=49,∴p的估计值为49.
(3)零假设H0:药物A对预防疾病B无效.
根据列联表中的数据可得
χ2=400×100×70−80×1502250×150×180×220=2 000297≈6.734>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效.
【解题技巧】独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(2)根据公式χ2＝n(ad−bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)计算.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
【变式训练】(2025·绵阳诊断)近年来，随着深入贯彻新时代强军思想，越来越多的优秀青年学子献身国防，投身军营，高考结束后，很多高考毕业生报考了军事类院校.从某地区学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
(2)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意向与性别有关？
参考公式及数据：χ2＝n(ad−bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
【解析】
(1)根据已知条件，填写2×2列联表如下.
故估计该地区高三男生有报考军事类院校意向的概率为100500＝15，
女生有报考军事类院校意向的概率为100400＝14.
(2)零假设为H0：学生有报考军事类院校意向与性别无关，
χ2＝900×(100×300−400×100)2200×700×400×500≈3.214>2.706＝x0.10，
所以根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生有报考军事类院校的意向与性别有关.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
【答案】A
【解析】一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确；
正方形的面积与边长是函数关系，故B错误；
一般情况下，若花费在体育活动上的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C错误；
期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误.
2.为了研究性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过(参考数据：x0.005＝7.879，x0.001＝10.828)( )
A.0.1%B.0.5%
C.99.5%D.99.9%
【答案】B
【解析】因为χ2＝8.01>7.879＝x0.005，所以“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过0.5%.
3.下表为2018年—2023年的中国数字经济规模(单位：万亿元)：
则下列所给函数模型中比较适合这一组数据关系的是( )
A.y＝2x＋30B.y＝30＋lg2(x＋1)
C.y＝28×98xD.y＝2x＋30
【答案】C
【解析】对于y＝2x＋30，当x＝6时，y＝42，与53.9相差较大；
对于y＝30＋lg2(x＋1)，当x＝6时，y6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，D正确.
8.某科技公司统计了一款APP最近5个月的下载量，如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为y^＝－0.6x＋a^，则( )
A.y与x负相关
B.a^＝5.6
C.预测第6个月的下载量约为2.1万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
【答案】ACD
【解析】因为－0.63.841，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
四、解答题(共27分)
11.(13分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(6分)
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？(7分)
附：χ2＝n(ad−bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
【解析】
(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是150200＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是120200＝0.6.
(2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得
χ2＝400×(150×80−120×50)2200×200×270×130
＝40039≈10.256>6.635＝x0.01，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
12.(14分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据，如表所示.
(1)求数学成绩y与学习时间x的样本相关系数(精确到0.001)；(5分)
(2)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(5分)
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表.依据表中数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.(4分)
参考数据：5∑i=1xiyi＝22 820，5∑i=1 yi＝435，5∑i=1yi2＝38 999，11 540≈107.4，xi的方差为200.
方差：s2＝1nn∑i=1(xi−x)2，
样本相关系数：r＝n∑i=1(xi−x)(yi−y)n∑i=1(xi−x)2n∑i=1(yi−y)2.
经验回归方程y^＝b^x＋a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝n∑i=1(xi−x)(yi−y)n∑i=1(xi−x)2，a^＝y－b^x，χ2＝n(ad−bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).
【解析】
(1)x＝30＋40＋50＋60＋705＝50，
y＝4355＝87，
又xi(i＝1，2，3，…，5)的方差为
155∑i=1(xi−x)2＝200，
5∑i=1(yi−y)2＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154，
r＝5∑i=1(xi−x)(yi−y)5∑i=1(xi−x)25∑i=1(yi−y)2＝5∑i=1xiyi−5x y1 000×5∑i=1(yi−y)2＝22 820−5×50×871011 540≈1 0701 074
≈0.996.
(2)由(1)知r≈0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合，
b^＝5∑i=1(xi−x)(yi−y)5∑i=1(xi−x)2＝5∑i=1xiyi−5x y5×200
＝22 820−5×50×871 000＝1.07，
a^＝y－b^x＝87－1.07×50＝33.5，
故y^＝1.07x＋33.5.
当x＝100时，y^＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.
(3)零假设H0：周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到
χ2＝220×(35×30−25×130)2165×55×60×160≈12.22，
因为12.22>10.828＝x0.001，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关.
【尖子拔高训练】13题5分，14题6分，共11分
13.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，则下列判断正确的是( )
A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
【答案】C
【解析】因为χ2≈6.816>6.635＝x0.01，所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A错误；
每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B错误.
14.(多选)某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
现用曲线C：y^＝c^1＋c^2×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c^1，c^2(精确到0.01)，以所求经验回归方程C为预测依据，则( )
参考数据：y＝10，6∑i=1xiyi＝257，6∑i=1xi2＝91，6∑i=1 2i＝126，6∑i=1(2i)2＝5 460，6∑i=1 2iyi＝1 906.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b^＝n∑i=1xiyi−nx yn∑i=1xi2−nx2，a^＝y－b^x.
A.c^1＝5.82
B.曲线C经过点(lg221，10)
C.广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3 000人
D.若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
【答案】BD
【解析】由题知，6∑i=12iyi＝1 906，y＝10，
166∑i=12i＝16×126＝21，6∑i=1(2i)2＝5 460，
所以c^2＝1 906−6×21×105 460−6×212＝3231 407≈0.23，c^1≈10－0.23×21＝5.17，A错误；
所以y^＝5.17＋0.23×2x，
令x＝lg221，求得y^＝10，B正确；
由上式可知，x每增加1万元，y不是平均增加的，C错误；
若x>9，则y^>122.93，而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确.
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
变量间的相关关系
2024·天津卷
2023·天津卷
2022·全国乙卷
了解样本相关系数的统计含义；了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题；会利用统计软件进行数据分析。
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
20∑i=1xi
20∑i=1yi
20∑i=1wi
20∑i=1xi2
20∑i=1yi2
20∑i=1wi2
20∑i=1xiyi
20∑i=1wiyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
7∑i=1xi2
7∑i=1xiyi
7∑i=1xizi
x
y
z
5 215
17 713
714
27
81.3
3.6
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
100
400
500
女学生
100
300
400
合计
200
700
900
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国数字经济规模y
31.3
35.8
39.2
45.5
50.2
53.9
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
性别
游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
0.6n
0.4n
n
女生
0.4n
0.6n
n
合计
n
n
2n
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
x
2
2.5
3
3.5
4
z
4.04
4.01
3.98
3.96
3.91
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
气温x(℃)
10
6
2
－2
售出热饮的杯数y
24
■
42
48
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
学习时间x(分钟/天)
30
40
50
60
70
数学成绩y(分)
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20