2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.5复数(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.5复数(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了5　复　数，复数的有关概念，复数的几何意义，复数的四则运算，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数实数(b＝0),虚数(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c−di)(c＋di)(c−di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc−adc2＋d2i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
【名师点拨】
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于( )
A.0B.1C.2D.2
3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.复数5i−2的共轭复数是 .
【名师点拨】
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1−i＝i；1−i1＋i＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.
(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
【必练核心题型】
题型一 复数的概念
【典例】1.(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为( )
A.2iB.－2iC.2D.－2
【典例】2.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于( )
A.1B.－1C.1或－1D.2
【典例】3.(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于( )
A.5B.4C.21D.29
【变式训练】
变式1.下列关于复数的说法，正确的是( )
A.复数i是最小的纯虚数
B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个
C.i与－i是一对共轭复数
D.虚轴上的点都表示纯虚数
变式2.(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于( )
A.32B.5C.5D.2
变式3.已知复数z满足4z(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为 .
题型二 复数的四则运算
【典例】1.(2024·新课标全国Ⅰ)若zz−1＝1＋i，则z等于( )
A.－1－iB.－1＋i
C.1－iD.1＋i
【典例】2.设复数z＝1＋2i2−i2 025，则z等于( )
A.1B.－1C.iD.－i
【典例】3.已知复数z满足z−3z−i＝2i，则z·z＝ .
【变式训练】
变式1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝1−i2＋2i，则z－z等于( )
A.－iB.iC.0D.1
变式2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则z＋iz−1＝ .
变式3.已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝ .
题型三 复数的几何意义
【典例】1.已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于( )
A.－2B.－125C.2D.125
【典例】2.已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋3i|的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
【变式训练】
变式1.(2025·南充模拟)当1