2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.4平面向量中的综合问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.4平面向量中的综合问题(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了4　平面向量中的综合问题，垂心等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【名师点拨】
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合。
【必练核心题型】
题型一 平面向量在几何中的应用
【典例】1.设P是△ABC所在平面内一点，若AB·(CB＋CA)＝2AB·CP，且AB2＝AC2－2BC·AP，则点P是△ABC的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【典例】2.△ABC的外心O满足OA＋OB＋2OC＝0，|AB|＝2，则△ABC的面积为( )
A.2＋22B.1＋22C.2D.2
【变式训练】
变式1.在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的( )
A.内心B.外心C.垂心D.重心
变式2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为 .
题型二 和向量有关的最值问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值问题
【典例】1.已知OA，OB是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A.2B.2C.3D.3
命题点2 与数量积有关的最值问题
【典例】1.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是( )
A.[－5，3]B.[－3，5]
C.[－6，4]D.[－4，6]
命题点3 与模有关的最值问题
【典例】1.已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A.[2－1，2＋1]B.[2－1，2]
C.[2，2＋1]D.[2－2，2＋2]
【变式训练】
变式1.在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋2yxy的最小值为( )
A.3＋22B.4＋23
C.8＋43D.8
变式2.(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为 ，(a＋b)·(b－c)的最小值为 .
变式3.已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是 .
【拓展训练】
四心问题
一、引理(“奔驰”定理)
如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.
图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.
证明 如图，延长AO与BC相交于点D，
BDDC＝S△ABDS△ACD＝S△BODS△COD＝−S△BOD−S△COD＝S△ABD−S△BODS△ACD−S△COD＝SCSB，
记BDDC＝λ，则BD＝λDC，即OD－OB＝λ(OC－OD)，
所以－(1＋λ)OD＋OB＋λOC＝0，
又OD＝－|OD||OA|OA＝－SASB＋SCOA，
所以SASB＋SC1＋SCSBOA＋OB＋SCSBOC＝0，
从而SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.
推论 若O是△ABC内的一点，且xOA＋yOB＋zOC＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.
二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征
1.重心
(1)定义：三角形三条中线的交点.
(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.
(3)向量特征：
定理1 G是△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0.
证明 由引理得G是△ABC的重心⇔SA＝SB＝SC⇔GA＋GB＋GC＝0.
推论1 P是△ABC所在平面内任意一点，PG＝13(PA＋PB＋PC)⇔G是△ABC的重心.
证明 G是△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0⇔PA－PG＋PB－PG＋PC－PG＝0⇔PG＝13(PA＋PB＋PC).
2.外心
(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
(3)向量特征：
定理2 O是锐角△ABC的外心⇔OAsin 2A＋OBsin 2B＋OCsin 2C＝0.
证明 由O是锐角△ABC的外心，得|OA|＝|OB|＝|OC|，
则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据引理，得到OAsin 2A＋OBsin 2B＋OCsin 2C＝0.
反之亦然(证明略).
推论2 P是锐角△ABC所在平面内任意一点，
PO＝PAsin2A＋PBsin2B＋PCsin2Csin2A＋sin2B＋sin2C⇔O是锐角△ABC的外心.
推论2可仿照推论1进行证明.
3.内心
(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.
(3)向量特征：
定理3 O是△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)
证明 设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝ar2∶br2∶cr2＝a∶b∶c.
根据引理得，O是△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.
推论3 P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔PO＝aPA＋bPB＋cPCa＋b＋c.
推论3可仿照推论1进行证明.
4.垂心
(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.
(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.
(3)向量特征：
定理4 O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtan A＋OBtan B＋OCtan C＝0.
证明 O是△ABC(非直角三角形)的垂心
⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA
⇔|OA|·|OB|cs(π－C)＝|OB|·|OC|cs(π－A)＝|OC|·|OA|cs(π－B)
⇔|OA|∶|OB|∶|OC|＝cs A∶cs B∶cs C
⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C，
由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtan A＋OBtan B＋OCtan C＝0.
推论4 P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔PO＝PAtanA＋PBtanB＋PCtanCtanA＋tanB＋tanC.
推论4可仿照推论1进行证明.
【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA＋SB·MB＋SC·MC＝0.以下命题错误的是( )
A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0
C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝3∶2∶1
D.若M为△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，则cs∠AMB＝－66
【限时训练】（限时：40分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量AB＝(x2，－2x)在向量AC＝(1，2)上的投影向量为λAC(λ∈R)，则实数λ的最小值为( )
A.－45B.－455C.－15D.－55
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|AP－AB－AD|＝1，则|AP|的最大值是( )
A.22－1B.22
C.22＋1D.22＋2
3.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|＋AC|AC|·BC＝0且AB|AB|·CA|AC|＝12，则△ABC的形状是( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足CD＝2DB，AD＝37，则BC的长为( )
A.37B.36C.33D.6
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则(PB＋PD)·PA有( )
A.最大值为12，没有最小值
B.最小值为－12，没有最大值
C.最小值为－12，最大值为4
D.最小值为－4，最大值为12
6.在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE＝aAC＋bAB(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为( )
A.134B.52C.413D.25
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有( )
A.若AD＝12(AB＋AC)，则点D是边BC的中点
B.若AD＝13AB|AB|csB＋AC|AC|csC，则直线AD过△ABC的垂心
C.若AD＝2AB－AC，则点D在边BC的延长线上
D.若AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△BCD是△ABC面积的一半
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA＋2PC＝0，QA＝2QB，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是( )
A.PB∥CQ
B.BP＝13BA＋23BC
C.PA·PC