2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第五章5.4复数（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第五章5.4复数（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·沈阳模拟)已知a，b∈R，a-3i=(b-i)i(i为虚数单位)，则( )
A.a=1，b=-3B.a=-1，b=3
C.a=-1，b=-3D.a=1，b=3
2.(2024·台州模拟)已知复数z=2+ii(i为虚数单位)，则( )
A.z的实部为2
B.|z|=5
C.z=2-i
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
3.(2025·泸州模拟)已知z=a-i1+2i(a∈R)为纯虚数，则实数a的值为( )
A.2B.1C.-1D.-2
4.(2024·银川模拟)在复平面内，已知复数z1=1-i对应的向量为OZ1，现将向量OZ1绕点O逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量OZ2，设OZ2对应的复数为z2，则z2z1等于( )
A.2iB.22iC.2D.22
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·长沙模拟)设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是( )
A.z1z1=|z1|2
B.z22=|z2|2
C.若z12=0，则z1=0
D.z12=(z1)2
6.(2025·临汾模拟)下列说法正确的是( )
A.若z=-2+i，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足z·i=-1+2i，则z的虚部为1
C.若z是方程x2+3=0的根，则z=±3i
D.若z满足|z-1+2i|=2，则|z|的最大值为5+2
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·辽阳模拟)若复数z=10-5i2+i+|3-4i|，则|z|= .
8.写出一个同时满足①②的复数z= .
①z3=z；②z∉R.
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知复数z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(6分)
(2)若m=2，设z+iz-i=a+bi(a，b∈R)，试求a+b的值.(7分)
10.(15分)已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；(6分)
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.(9分)
每小题5分，共10分
11.(2025·银川模拟)在复平面内，复数z=a+bi(a∈R，b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点)，设|OZ|=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，则z=r(cs θ+isin θ)，数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1(cs θ1+isin θ1)，z2=r2(cs θ2+isin θ2)，则z1z2=r1r2[cs(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=[r(cs θ+isin θ)]n=rn(cs nθ+isin nθ)，则复数(-1+3i)10在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
12.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为( )
A.23B.3C.3D.1
答案精析
1.A [因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.]
2.B [z＝2＋ii＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝5，z＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限.]
3.A [因为z＝a-i1＋2i＝(a-i)(1-2i)(1＋2i)(1-2i)＝a-25－2a＋15i，
因为z为纯虚数，
所以a-25＝0,-2a＋15≠0,则a＝2.]
4.A [依题意，OZ1＝(1，－1)，
设将向量OZ1绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为(x，y)，x>0，
则有x-y＝0,x2＋y2＝2,解得y＝x＝1，
因此OZ2＝2(1，1)＝(2，2)，
即z2＝2＋2i，
所以z2z1＝2＋2i1-i＝(2＋2i)(1＋i)(1-i)(1＋i)＝4i2＝2i.]
5.ACD [设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z1＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2，|z1|2＝a2＋b2，
A正确；
z22＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi，
而|z2|2＝c2＋d2，B错误；
若z12＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi＝0，可得a2－b2＝2ab＝0，解得a＝b＝0，即z1＝0，故C正确；
z12＝(a＋bi)2＝a2-b2＋2abi＝a2－b2－2abi，(z1)2＝(a－bi)2＝a2－b2－2abi，所以z12＝(z1)2，故D正确.]
6.AC [对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确；
对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝-1＋2ii＝(-1＋2i)·ii2＝2＋i，
则z＝2－i，所以z的虚部为－1，
故B错误；
对于C，方程x2＋3＝0的根为±3i，故C正确；
对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以(x-1)2＋(y＋2)2＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为12＋(-2)2＝5，所以|z|的最大值为5＋2，故D错误.]
7.45
解析 z＝10-5i2＋i＋|3－4i|
＝5(2-i)(2-i)(2＋i)(2-i)＋5＝5(3-4i)5＋5＝8－4i，
|z|＝82＋(-4)2＝45.
8.i(或－i)
解析 因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合.
9.解 (1)因为z是纯虚数，
所以m2＋m-2＝0,m-1≠0,解得m＝－2.
(2)若m＝2，则z＝4＋i，
故z＋iz-i＝4＋2i4-2i＝2＋i2-i
＝(2＋i)2(2-i)(2＋i)＝35＋45i＝a＋bi，所以a＝35，b＝45，所以a＋b＝75.
10.解 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以-a＋b＝0,a-2＝0,
解得a＝2,b＝2.
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，
由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
所以x2＝－1－i是方程的另一个根.
11.B [当z＝－1＋3i时，
r＝2，取θ＝2π3，故(-1＋3i)10
＝210cs 203π＋isin 203π
＝210-12＋32i＝－512＋5123i.
显然(-1＋3i)10在复平面内所对应的点在第二象限.]
12.B [根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，
此时|z|＝3，所以|z|max＝3.]