2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第六章6.1数列的概念(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第六章6.1数列的概念(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了1　数列的概念，数列的有关概念，数列的分类，数列与函数的关系，数列的表示法，数列的通项公式等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.数列的有关概念
2.数列的分类
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
5.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
6.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
【名师点拨】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))
若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【随堂练习】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是 .
【答案】92
【解析】∵5-1=4，12-5=7，22-12=10，
∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，
∴第5个五边形数是22+13=35，第6个五边形数是35+16=51，第7个五边形数是51+19=70，第8个五边形数是70+22=92.
3.已知数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，则an= .
【答案】n(n+1)2
【解析】数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，
可得a1=1，
a2-a1=2，
a3-a2=3，
a4-a3=4，
…
an-an-1=n，
以上各式相加可得an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(n≥2)，
又a1=1符合该式，所以an=n(n+1)2.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an= .
【答案】−2,n=1,2n−5,n≥2
【解析】当n=1时，a1=S1=-2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.
因为当n=1时，不满足an=2n-5，
所以an=−2,n=1,2n−5,n≥2.
【名师点拨】
1.灵活应用两个常用结论
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2,n∈N∗.
(2)在数列{an}中，若an最大，则an≥an−1,an≥an+1;若an最小，则an≤an−1,an≤an+1,n≥2，n∈N*.
2.掌握数列的函数性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+10，n∈N*，
则λ>-(4n+2)对于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0⇒λ>-6，反之不成立.
命题点2 数列的周期性
【典例】5 (2025·孝感模拟)在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2 025项的积为( )
A.-1B.-2C.-3D.32
【答案】A
【解析】因为anan+1=an-1，an≠0，
所以an+1=1-1an，
又a1=-2，则a2=32，a3=13，a4=-2，
所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3=-1，
设数列{an}的前n项积为Tn，
则T2 025=a1a2a3…a2 025=(-1)675=-1.
命题点3 数列的最值
【典例】6 数列{bn}满足bn=3n−72n−1，则当n= 时，bn取最大值为 .
【答案】4 58
【解析】方法一 ∵bn+1-bn=3n−42n-3n−72n−1=10−3n2n，
∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增，
当n≥4时，bn+1an(n∈N*)，
有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N*)，
解得k>12n+1(n∈N*)，
则k>12n+1max，
当n=1时，12n+1max=13，所以k>13，
则k的取值范围为13，+∞.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是( )
A.1 212B.12C.ln 12D.sin 12
【答案】D
【解析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin 12.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于( )
A.-5B.5C.7D.8
【答案】B
【解析】因为Sn=n2-1，
所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.
3.已知数列{an}的项满足an+1=nn+2an，且a1=1，则an等于( )
A.2(n+1)2B.2n(n+1)
C.12n−1D.12n−1
【答案】B
【解析】由an+1=nn+2an，得an+1an=nn+2，所以a2a1=13，a3a2=24，a4a3=35，…，an−1an−2=n−2n，anan−1=n−1n+1(n≥2)，所以a2a1·a3a2·a4a3·…·an−1an−2·anan−1=13×24×35×…×n−2n×n−1n+1，所以ana1=2n(n+1)，因为a1=1，所以an=2n(n+1)，又因为a1=1满足上式，所以an=2n(n+1).
4.已知数列{an}的通项an=nn2+90，则数列{an}中的最大项的值是( )
A.310B.19C.119D.1060
【答案】C
【解析】令f(x)=x+90x(x>0)，
运用基本不等式得f(x)≥610，
当且仅当x=310时，等号成立.
因为an=1n+90n，n∈N*，所以1n+90n1时，n>2+1，
∴当1≤nbn+1，当n≥3时，bnn2-λn，
整理可得2n+1-λ>0，即λ0，∴an+1-an=2(n≥2).
又∵a2-a1=2，
∴{an}为等差数列，且公差为2，
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
12.(15分)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=anan+1+14.
(1)求{an}的通项公式；(6分)
(2)若对于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，求实数λ的取值范围.(9分)
【解析】
(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，
且a1=1，Sn=anan+1+14，即4Sn=anan+1+1，
当n≥2时，可得4Sn-1=an-1an+1，
两式相减得4an=an(an+1-an-1)，
因为an≠0，故an+1-an-1=4，
所以a1，a3，…，a2n-1，…及a2，a4，…，a2n，…均为公差为4的等差数列，
当n=1时，由a1=1及S1=a1a2+14，解得a2=3，
所以a2n-1=1+4(n-1)=2(2n-1)-1，a2n=3+4(n-1)=2×2n-1，
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1，
可得Sn=(2n−1)(2n+1)+14=n2，
因为对于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，
所以λ≥n22n恒成立，
设bn=n22n，则bn+1-bn=(n+1)22n+1-n22n=−n2+2n+12n+1，
当1-2…，
故(bn)max=b3=98，所以λ≥98，
即实数λ的取值范围为98，+∞.
【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分
13.在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的透过率Tk=PkPk−1=12k，其中k=1，2，3，…，n，为使得PnP0≥2-2 025，则n的最大值为( )
A.31B.32C.63D.64
【答案】C
【解析】由题意PnPn−1=12n，Pn−1Pn−2=12n−1，…，P1P0=12，所以PnP0=12n×12n−1×…×12=12n(n+1)2≥2-2 025，
所以n(n+1)2≤2 025，即n(n+1)≤4 050，
显然f(n)=n(n+1)关于n单调递增，其中n∈N*，
又f(63)=4 032