2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.8正弦定理、余弦定理(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.8正弦定理、余弦定理(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了8　正弦定理、余弦定理，正、余弦定理，三角形常用面积公式等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
【名师点拨】
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cs Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝7，a＝1，B＝2π3，则c等于( )
A.5B.2C.3D.3
【答案】B
【解析】由余弦定理得cs B＝a2＋c2−b22ac，即－12＝1＋c2−72c，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值舍去).
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有( )
A.一个B.两个
C.0个D.不能确定
【答案】B
【解析】由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得8022＝100sinB，所以sin B＝528.
因为aA，故B有两解，
即符合条件的三角形有两个.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cs A＝ ，△ABC的面积为 .
【答案】34 1574
【解析】依题意得cs A＝b2＋c2−a22bc＝34，
所以sin A＝1−cs2A＝74，
所以△ABC的面积为12bcsin A＝1574.
【名师点拨】
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A0，∴cs A＝12，
∵A∈(0，π)，∴A＝π3，
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得
asinA＝332＝2＝2r，
∴r＝1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是( )
A.A＝π4，b＝1，c＝2
B.B＝2π3，b＝1，c＝2
C.A＝π6，b＝3，a＝3
D.B＝π4，b＝3，a＝2
【答案】CD
【解析】对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形；
对于B，由正弦定理可知，sin C＝csinBb＝2×321＝3>1，无解，
故B选项的条件不能确定三角形；
对于C，由正弦定理可知，sin B＝bsinAa＝3×123＝32a，即B∈π6，π，
所以B＝π3或B＝2π3，故C选项的条件能确定2个三角形；
对于D，由正弦定理可知，sin A＝asinBb＝2×223＝23＝63b，即A∈π4，π，又易知sin A＝23>sinπ4＝22，则sin A＝63有两个解，
故D选项的条件能确定2个三角形.
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A.若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
B.若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
C.若acsA＝bcsB＝ccsC，则△ABC是等边三角形
D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
【答案】BC
【解析】对于A，若acs A＝bcs B，则由正弦定理得sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcs C＋ccs B＝b，则由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若acsA＝bcsB＝ccsC，则由正弦定理得sinAcsA＝sinBcsB＝sinCcsC，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs C＝23，a＝3b，则cs A＝ .
【答案】－66
【解析】在△ABC中，cs C＝23，a＝3b，
由余弦定理可得
cs C＝a2＋b2−c22ab＝9b2＋b2−c22·3b·b＝23，
解得c＝6b，
再由余弦定理可得
cs A＝b2＋c2−a22bc＝b2＋6b2−9b22b·6b＝－66.
10.在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝π4，延长BA到点D，使得AD＝2，∠ADC＝π6，则AB的长为 .
【答案】63
【解析】∵在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝π4，延长BA到点D，使得AD＝2，∠ADC＝π6，
∴由正弦定理得ADsin∠ACD＝ACsin∠ADC，
可得sin∠ACD＝ADsin∠ADCAC＝22，
可得∠ACD＝π4，∴∠BAC＝∠ACD＋∠ADC＝π4＋π6＝5π12，∠ABC＝π－5π12－π4＝π3，
∴在△ABC中，由正弦定理得
ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，
即ABsin π4＝1sin π3，解得AB＝63.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cs A＝2.
(1)求A；(5分)
(2)若a＝2，2bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.(8分)
【解析】
(1)方法一 常规方法(辅助角公式)
由sin A＋3cs A＝2，
可得12sin A＋32cs A＝1，
即sinA＋π3＝1，
由于A∈(0，π)⇒A＋π3∈π3，4π3，
故A＋π3＝π2，
解得A＝π6.
方法二 常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋3cs A＝2，
又sin 2A＋cs 2A＝1，
消去sin A得到
4cs2A－43cs A＋3＝0⇔(2cs A－3)2＝0，
解得cs A＝32，
又A∈(0，π)，故A＝π6.
(2)由题设条件和正弦定理得，
2bsin C＝csin 2B⇔2sin Bsin C＝2sin Csin Bcs B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cs B＝22，得到B＝π4，
于是C＝π－A－B＝7π12，
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B
＝2＋64，
由正弦定理可得，
asinA＝bsinB＝csinC，
即2sinπ6＝bsinπ4＝csin7π12，
解得b＝22，c＝6＋2，
故△ABC的周长为2＋6＋32.
12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝π3，∠DAC＝π4，BD交AC于点E.
(1)求BD2；(7分)
(2)求AE.(7分)
【解析】
(1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝π3，∠DAC＝π4，BD交AC于点E，
可得AB＝AC·cs∠BAC＝10×12＝5，
AD＝AC·cs∠DAC＝10×22＝52，
因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝π3＋π4，
所以cs∠BAD＝cs π3cs π4－sin π3sin π4
＝12×22－32×22＝2−64，
所以在△ABD中，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs∠BAD
＝25＋50－2×5×52×2−64
＝50＋253.
(2)因为sin∠BAD＝sinπ3＋π4＝6＋24，
又因为S△ABD＝S△ABE＋S△ADE，
所以12·AB·AD·sin∠BAD＝12·AB·AE·sin∠BAE＋12·AE·AD·sin∠EAD，
即12×5×52×6＋24＝12×5×AE×32＋12×AE×52×22，
解得AE＝53－5.
【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝10，a2＋b2－c2＝absin C，acs B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是( )
A.tan C＝2
B.A＝π4
C.b＝2
D.△ABC的面积为6
【答案】ABD
【解析】因为a2＋b2－c2＝absin C，
所以cs C＝a2＋b2−c22ab＝absinC2ab＝sinC2，
所以tan C＝sinCcsC＝2，故A正确；
因为acs B＋bsin A＝c，利用正弦定理可得
sin Acs B＋sin Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
即sin Bsin A＝cs Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝1，
又A∈(0，π)，所以A＝π4，故B正确；
因为tan C＝2，C∈(0，π)，
所以sin C＝255，cs C＝55，
又A＝π4，所以sin A＝cs A＝22，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝22×55＋22×255＝31010，
因为asinA＝bsinB，所以b＝asinBsinA＝10×3101022＝32，故C错误；
S△ABC＝12absin C＝12×10×32×255＝6，故D正确.
14.已知△ABC的面积S＝14(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 .
【答案】等腰直角三角形
【解析】依题意，△ABC的面积S＝14(b2＋c2)，
则12bcsin A＝14(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2，
由于0