2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.10解三角形应用举例(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.10解三角形应用举例(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了10　解三角形应用举【典例】等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】测量中的几个有关术语
【名师点拨】
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
【解析】(2)α＝β；
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B( )
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
【答案】D
【解析】由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
【答案】3
【解析】在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理ABsinC＝BCsinA，
得AB＝BCsinCsinA＝2×1×32＝3(km).
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝ .
【答案】20 m
【解析】在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102 m，
由正弦定理CDsin∠CBD＝CBsin∠CDB，
可得102sin30°＝CBsin(180°−15°−30°)，
可得CB＝202×22＝20(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝CB＝20 m.
【名师点拨】
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
【必练核心题型】
题型一 测量距离问题
【典例】1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.102 海里B.103 海里
C.202 海里D.203 海里
【答案】A
【解析】依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
AB＝40×3060＝20(海里)，
由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，
即BCsin30°＝20sin45°，
因此BC＝20×1222＝102(海里)，
所以B，C两点间的距离是102 海里.
【典例】2.如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为103 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为( )
A.106 kmB.30(3－1)km
C.30(2－1)kmD.105 km
【答案】D
【解析】在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，
所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝103，
在△BCD中，
∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
由正弦定理得BD＝CDsin∠BCDsin∠CBD＝103sin75°sin60°＝52＋56，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB＝(103)2＋(52＋56)2－2×103×(52＋56)cs 75°＝500，
所以AB＝105，即基站A，B之间的距离为105 km.
【解题技巧】
距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
【变式训练】
变式1.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为 km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
【答案】5.8
【解析】在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，
∠ABD＝60°，
由余弦定理可得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD，
即49＝25＋BD2－2×5×BD×12，
整理可得BD2－5BD－24＝0，
解得BD＝8或BD＝－3(舍去).
在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，
∠BCD＝117°，
所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
由正弦定理BDsin∠BCD＝BCsin∠BDC可得，
BC＝BDsin∠BDCsin∠BCD＝8sin40°sin117°≈8×
≈5.8(km).
题型二 测量高度问题
【典例】1.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步) ( )
A.1 200步B.1 300步
C.1 155步D.1 255步
【答案】D
【解析】设海岛的高为h步，由题意知，FM＝GN＝5，AM＝123，BN＝127，MN＝1 000，
则FMDC＝AMAC，GNDC＝BNBC，
即AC＝AM·DCFM＝123h5，
BC＝BN·DCGN＝127h5，
所以MN＝BC－AC－BN＋AM，
则1 000＝127h5－123h5－127＋123，解得h＝1 255，
即海岛的高为1 255步.
【典例】2.(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为( )
A.106 米B.203 米
C.2033 米D.2063 米
【答案】D
【解析】
依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得BCsin30°＝40sin45°，
解得BC＝40×1222＝202，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BCtan 30°＝202×33＝2063，
所以景观树的高度为2063米.
【解题技巧】
高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
【变式训练】
变式1.矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为π6，π4，π3，且AB＝BC＝20 m，则四门通天铜雕的高度为( )
A.156 mB.106 m
C.66 mD.56 m
【答案】B
【解析】设OP＝h，则OA＝3h，OB＝h，OC＝33h，
在△ABO中，由余弦定理得cs∠ABO＝400＋h2−3h22×20×h＝400−2h240h，
在△BCO中，由余弦定理得
cs∠OBC＝400＋h2−13h22×20×h＝400＋23h240h，
因为∠ABO＋∠OBC＝π，
所以400−2h240h＋400＋23h240h＝0，
即800－43h2＝0，
解得h＝106，
所以四门通天铜雕的高度为106 m.
题型三 测量角度问题
【典例】1.如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(303－30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
【解析】
(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝602＋(303－30)2－2×60×(303－30)·cs 120°＝
5 400，
所以AC＝306.
所以小岛A到小岛C的距离是306 海里.
(2)根据正弦定理得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，
所以306sin120°＝60sin∠ACB，
解得sin∠ACB＝22，
在△ABC中，因为AB