2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了辅助角公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，下列等式成立的有，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcs__α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【名师点拨】
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）)＝eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1.
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
3.升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，
1－cs 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β, 1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
2.sinπ12－3csπ12的值为( )
A.0B.－2C.2D.2
3.若2cs α－sin α＝0，则tanα−π4等于( )
A.－13B.13C.－3D.3
4.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .
【名师点拨】
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－tanα＋tanβtan(α＋β)＝tanα−tanβtan(α−β)－1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
【必练核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
【典例】1.若csπ4＋αcsπ4−α＝3，则tanα＋π4等于( )
A.－3B.－13C.13D.3
【典例】2.若cs(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于( )
A.33B.－33C.3D.－3
【变式训练】
变式1.已知sin(α－β)＝13，cs αsin β＝16，则sin(α＋β)等于( )
A.23B.223C.－23D.－223
变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs(α－β)等于( )
A.－3mB.－m3C.m3D.3m
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cs x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则csθ＋π4等于( )
A.7210B.－7210C.210D.－210
【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝ .
【变式训练】
变式1.若sin α＋3cs α＝1，且α∈(0，π)，则α＝ .
变式2.若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
题型三 角的变换问题
【典例】1.已知sinα＋π4＝45，α∈π4，π2，则cs α等于( )
A.210B.3210C.22D.7210
【典例】2.已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cs β＝33，则sin α等于( )
A.13B.33C.539D.39
【变式训练】
变式1.已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，csβ−5π6＝513，则sin(α－β)的值为( )
A.1665B.3365C.5665D.6365
变式2.已知θ∈π4，π2，且sinθ＋π4＝45，则tan θ等于( )
A.7B.43C.17D.125
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.cs 50°cs 160°－cs 40°sin 160°等于( )
A.32B.12C.－12D.－32
2.已知α为锐角，且sinα＋π3＝sinα−π6，则tan α等于( )
A.3B.2＋3
C.6D.6＋3
3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于( )
A.22(1−m2－m)B.12m＋321−m2
C.22(m＋1−m2)D.32m＋121−m2
4.已知sin α＋sin β＝12，cs α＋cs β＝13，则cs(α－β)的值等于( )
A.－712B.－1718C.－5972D.5972
【答案】C
【解析】sin α＋sin β＝12⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝14，①
cs α＋cs β＝13⇒cs2α＋cs2β＋2cs αcs β＝19，②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)＝1336⇒cs(α－β)＝12×1336−2＝－5972.
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于( )
A.－1B.1C.－2D.2
6.定义运算a bc d＝ad－bc，若cs α＝17，sinα sinβcsα csβ＝3314，0