2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题3.3导数与函数的极值、最值(七类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题3.3导数与函数的极值、最值(七类重难点题型精练)(学生版+解析)，共52页。试卷主要包含了函数的极小值是 .，的极大值为 ，已知函数.，已知函数等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 求函数的极值与极值点
1．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
2．（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
5．（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
6．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
7．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求不等式的解集．
重难点题型2 利用函数的极值与极值点求参数的取值范围
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2B．C．1D．
2．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．e
4．（2019·辽宁丹东·一模）若是函数的极值点，则的值为（ ）
A．B．3C．或3D．或2
5．（2025·云南大理·模拟预测）若是的极值点，则 ；在上的最小值是 .
6．（2023·吉林长春·一模）若在内存在极值，则实数的取值范围是 ．
7．（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 .
8．（2023·辽宁·模拟预测）已知和是函数的两个极值点，且，则的取值范围是 ．
重难点题型3 求函数的最值
考向1 不含参数
1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
2．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
4．（2024·安徽黄山·一模）已知函数在处取得极大值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值．
考向2 含有参数
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
6．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
7．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
8．（2024·北京海淀·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若函数存在最大值，求的取值范围.
重难点题型4 根据最值，求参数的取值范围
1．（2022·四川凉山·三模）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
5．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
6．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
重难点题型5 函数的单调性、极值与最值的综合问题
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在有最小值4，求的值．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
3．（2023·四川泸州·一模）已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
4．（2023·新疆·三模）已知函数，且的最小值为0．
(1)求的值；
(2)设函数．
（i）求的极小值点；
（ii）设的极大值点为，证明．
重难点题型6 不等式的能成立问题
1．（2017·湖南娄底·二模）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为 ．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值．
(1)求m的值及的单调区间；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
5．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
重难点题型7 不等式的恒成立问题
1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
专题3.3 导数与函数的极值、最值
目录●重难点题型分布
重难点题型1 求函数的极值与极值点
1．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值点
【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误.
【详解】因为，所以，
令，则，
所以在上单调递减．
因为，所以当时，，即；
当时，，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
故选：C
2．（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求已知函数的极值
【分析】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值.
【详解】，
记，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
所以，当时，，
因为，且当时，，
所以，当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增.
所以，当时，取得极小值.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导函数零点，进而可知的单调性，然后可解.
3．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】计算的导数可判断A，分析的单调性和最值可判断B，变形得到，令，分析的单调性及和的极限值可判断C，对二次求导分析符号可判断D.
【详解】，，
令，可得，当时，，当时，，
所以是函数的极小值点，极小值，故A正确；
由在上单调递减，上单调递增，且，
可知无零点，故B错误；
令，则，即，
令，，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，上单调递减，
，故，则，单调递减，
当时，，当时，，
所以和两条曲线有且只有一个交点，
即方程恰有1个实根，故C正确；
由，令，，
当时，，所以的图象在上为凹的，
所以对任意的，都有，故D正确.
故选：ACD.
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、根据函数的单调性解不等式
【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用 y=f(x) 与 y=a 有三个不同交点，即 f(x)=a 有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D．
【详解】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
5．（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求已知函数的极值
【分析】求出函数的导数，讨论其符号可得函数的极小值点，故可得极小值.
【详解】由题意可得，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故.
故答案为：.
6．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有极大值.
故答案为：.
7．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)的极小值为的极大值为
(2)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的极值；
（2）求出的方程，由可得，转化为函数图象有两个不同的交点即可.
【详解】（1）当时，，
，
由得：，由得：或，
当时，单调递增，当和时，单调递减，
的极小值为的极大值为．
（2），
令，则，
记，则，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，
且，
又当时恒成立，
要使有两个零点，则与图象有两个交点，
，解得：．
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性,得到函数的极小值点，求得极小值.
（2）把所解不等式移项后,构造函数,利用导数研究函数的单调性，利用单调性解得不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时,,在时为减函数；
当时,,在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
重难点题型2 利用函数的极值与极值点求参数的取值范围
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据极值点求参数
【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
因此是的极值点，所以.
故选：B
2．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、根据极值点求参数
【分析】首先对原函数求导，根据已知条件求出的值，进而求出原函数的表达式，再利用基本不等式或二次函数的性质求导函数的最小值.
【详解】因为在时取极小值，
所以在处成立.
即：，所以.
当时，，
当时，，当时，，
所以在时取得极小值，故.
所以原函数表达式为：.
导函数的表达式为：
因为，所以根据基本不等式.
所以导函数的最小值为：.
故选：C.
3．（2025·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设极大值点为，由题意可得，，进而有，构造函数，求得最小值即可.
【详解】由，若在上有极大值，必存在极大值点，
即在上有解，即有解，所以有，，
，
所以有，令，
有，
可得函数的减区间为，增区间为，有，
当时，，则上，上，
所以在上单调递增，上单调递减，满足题设，
故的最小值为.
故选：A．
4．（2019·辽宁丹东·一模）若是函数的极值点，则的值为（ ）
A．B．3C．或3D．或2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数
【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案.
【详解】，
由题意可知或.
当时，，
令，解得或，函数在和上单调递增；
令，解得，函数在上单调递减，
所以是函数的极值点符合题意；
当时，，
所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，
故选：B.
5．（2025·云南大理·模拟预测）若是的极值点，则 ；在上的最小值是 .
【答案】 1
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】利用极值点的定义和导数的几何意义求解即可.
【详解】由可得，
因为是的极值点，
所以，解得，
此时，，
令得，令得或，
所以在单调递减，在和单调递增；
因为，所以在单调递增，在单调递减，
又因为，，，
所以在的最小值为，
故答案为：；
6．（2023·吉林长春·一模）若在内存在极值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、根据极值点求参数
【分析】求出函数的导数，问题转化为在内有变号零点，利用二次函数的性质求出a的取值范围．
【详解】在内存在极值，则在内有变号零点，
，，与同号，
则有，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：
7．（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数
【分析】求导函数，根据求得的值，检验极值点后可得的值.
【详解】函数，则
当时，函数取得极小值1，
所以，解得，
所以，
则函数在时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增；符合是函数的极值点；
故.
故答案为：.
8．（2023·辽宁·模拟预测）已知和是函数的两个极值点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数
【分析】利用导函数和极值点的定义可得和是方程的两个根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，利用导函数作出的图象，数形结合即可求解.
【详解】由题意可得，
故和是函数的两个零点，即是方程的两个根，
又，所以，所以和是方程的两个根，
所以函数的图象与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为，
由于，所以当或 时，当时，，
故在区间，内单调递减，在区间内单调递增，且当时，，
作出的图象如图所示：
由图可知，且，
因为，取，并令，则，
所以，解得，此时，
故时，即m的取值范围是，
故答案为：
重难点题型3 求函数的最值
考向1 不含参数
1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
2．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)答案见解析.
【难度】0.85
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
4．（2024·安徽黄山·一模）已知函数在处取得极大值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；
（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.
【详解】（1）由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
考向2 含有参数
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值.
【详解】（1）当时，，求导得：，
则，，
则在处的切线方程：，即；
（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
6．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
7．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
【详解】（1）当时，的定义域为，
则，则，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
8．（2024·北京海淀·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若函数存在最大值，求的取值范围.
【答案】(1)的增区间为，减区间为
(2)
【难度】0.4
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）对函数求导，得到，再求出和对应的取值，即可求出结果；
（2）令，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出在上取值范围，从而将问题转化成成立，构造函数，再利用的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）易知定义域为，因为，所以，
由，得到，当时，，当时，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则，
由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在时取得最大值，
所以当时，，当时，，
即当时，，
所以函数在存在最大值的充要条件是，
即，
令，则恒成立，
所以是增函数，又因为，
所以的充要条件是，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数，利用函数单调性得到时，，从而将问题转化成，构造函数，再利用的单调性来解决问题.
重难点题型4 根据最值，求参数的取值范围
1．（2022·四川凉山·三模）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】对函数求导，讨论参数a的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可得范围.
【详解】由题意，函数，可得，
若时，当时在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，
画出函数与的图象，如图所示，

结合图象，存在，使得，
当时单调递减；
当时单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、已知函数最值求参数
【分析】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围.
【详解】函数，求导得，
由在区间上有最小值，
得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
3．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数
【分析】根据条件列方程组求出a和b.
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，
所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】先设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数.
【详解】由题意可得.
设，则，所以是偶函数.
当时，.
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增.
因为是偶函数，所以在上单调递减，
所以，
由.
故答案为：
5．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）
【难度】0.65
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、已知函数最值求参数
【分析】将问题“在上有最小值”转化为在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】由可知，，
又在上有最小值，
所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以，解得，
又因为，所以.
故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.
6．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】/0.5
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.
【详解】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
重难点题型5 函数的单调性、极值与最值的综合问题
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在有最小值4，求的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可；
（2）分，和，讨论的单调性，即可求出在上的最小值，解方程即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），
①当时，，因为，所以，此时在无最小值；
②当时，
（i）若，则在上，，
所以在上单调递增，无最小值．
（ii）若，则时，有在上单调递减，
时，有在上单调递增，
故在上的最小值为，
即，整理得，解得或（舍去）．
综上，得．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，构造函数求导即可求解.
【详解】（1）当时，且，
所以，
故切线方程为，即，
（2），
由，存在，使得，即，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故，
，
故在单调递减，又，
故
3．（2023·四川泸州·一模）已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数
【分析】（1）直接求导代入得到，再验证即可；
（2）计算出，，再比较两者大小即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是函数函数的极值点，
所以，
，此时，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，
故所求的值为12.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
因为，所以，所以，所以的取值范围.
4．（2023·新疆·三模）已知函数，且的最小值为0．
(1)求的值；
(2)设函数．
（i）求的极小值点；
（ii）设的极大值点为，证明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点
【分析】（1）分和两种情况讨论求最值即可求参；
（2）根据导数正负确定函数单调性求出极值点，再结合隐零点根据函数值域证明不等式即可.
【详解】（1），
当时，在区间上单调递减，且
当时，，不合题意，
当时，若时，单调递减，
时，单调递增，
所以的最小值为，
又，易知时成立，下证为唯一解
令，
当单调递增，
当单调递减，
所以，于是方程有且仅有一解为．
（2）（i），故，
令，所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
又，故使得．
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
故的极小值点为．
（ii）由（i）知满足，即，
所以．
又，
当时，单调递减，故．
综上．
重难点题型6 不等式的能成立问题
1．（2017·湖南娄底·二模）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究能成立问题
【分析】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可.
【详解】由成立，可得，
设，
则存在，使得成立，
即，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
2．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
3．（22-23高三下·湖北武汉·期中）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数图象及性质
【分析】先对全分离，即，构造新函数，求导求单调性判断最值点，若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需大于最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.
【详解】解：若，即，
因为，所以，即，记，
故只需有且仅有两个整数使得成立即可，
所以，
记，所以，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使得，即，
在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，所以有最小值，
因为，且，
，而，
若使有且仅有两个整数，
只需即可，解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：
（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；
（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；
（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值．
(1)求m的值及的单调区间；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数
【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间；
（2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围.
【详解】（1）由题设，且，即，
所以，当时，当时，
所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足，
综上，，的递减区间为，递增区间为；
（2）由题设，即在上能成立，
令，则，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
由时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，则.
5．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值
【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值；
（2）求导，分，，三种情况分析求解即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值，
时，函数取得极小值.
（2）由，，
则，
当时，，此时，函数在上单调递增，
则，即；
当时，，
则时，；时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，与矛盾，不符合题意；
当时，，此时，函数在上单调递减，
则，即恒成立，符合题意.
综上所述，的取值范围为．
重难点题型7 不等式的恒成立问题
1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，，
则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即.
故选：D.
2．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据题意，转化为对任意成立，分两种情况讨论：（1）不等式且对任意成立，结合的性质，求得；（2）方程且有相同的解，进而得到的取值范围.
【详解】由不等式，可得，
要使得不等式对任意成立，
可得分为两种情况：
（1）不等式且对任意成立，
由不等式恒成立，即，可得；
由不等式恒成立，即在恒成立，
令，可得恒成立，
所以在上单调递增，所以，则，所以；
（2）方程且有相同的解，即且的零点重合，
由，可得，将代入，可得，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可,
（2）由（1）可得，再作商构造函数，利用导数求出最大值小于1即可得证.
【详解】（1）函数定义域为，
不等式，
令函数，依题意，对恒成立，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，则恒成立，
因此，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以当时，.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点
【分析】（1）通过导数的正负来判断原函数的单调性，再结合导函数的零点个数，从而可求极值点个数；
（2）利用同构函数思想，把指对函数同构为，使得原不等式变为，然后再利用分离参变量，再利用求导来研究函数的最值，问题即可求解.
【详解】（1）由，可知定义域为，则．
当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点．
当时，，则，
所以在上单调递增．
当，即时，，
当，即时，，
所以存在唯一的实数，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以是函数的极小值点，无极大值点．
综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1．
（2）由得，故．①
设函数，由，可知在R上单调递增．
由于①式可化为，即有，
所以对恒成立．
设函数，则，令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得极大值也是最大值，
即最大值为．故．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
增
极大值
减
极小值
增
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．