2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第3讲导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第3讲导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)，共7页。试卷主要包含了5年真题考点分布，课标要求，知识导图等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc168491927" 01 考情研究 PAGEREF _Tc168491927 \h 2
\l "_Tc168491928" 02 知识梳理·2
\l "_Tc168491929" 03 探究核心考点3
\l "_Tc168491933" 考点一：求函数的极值与极值点3
\l "_Tc168491934" 考点二：根据极值、极值点求参数4
\l "_Tc168491935" 考点三：求函数的最值（不含参）5
\l "_Tc168491936" 考点四：求函数的最值（含参）5
\l "_Tc168491937" 考点五：根据最值求参数6
\l "_Tc168491938" 考点六：函数单调性、极值、最值的综合应用7
\l "_Tc168491940" 考点七：不等式恒成立与存在性问题7
三阶突破训练
\l "_Tc168491945" 基础训练·8
\l "_Tc168491946" 能力提升9
\l "_Tc168491947" 真题感知11
一、5年真题考点分布
二、课标要求
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
三、知识导图
1．函数的极值
提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
2．函数的最值
（1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
（2）若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值,⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值.
提醒 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.
考点一 求函数的极值与极值点
典例1．（2025·辽宁·模拟）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
典例2．（2025·云南曲靖·模拟）函数的极值点为（ ）
A．0B．1C．D．
【方法技巧】
1.求函数的极值或极值点的步骤
（1）求导数f'(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
（2）求方程f'(x)=0的根；
（3）检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号，确定极值点或函数的极值.
2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在处得到极大值B．在处得到极大值
C．在处得到极小值D．在处得到极小值
跟踪训练2．（2025·浙江·模拟）函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 根据极值、极值点求参数
典例1．（2025·黑龙江·模拟）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（ ）
A．B．C．0D．
典例2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧】
1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2.注意
（1）导数为零的点不一定是极值点.
（2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f'(x)=0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小.
跟踪训练1．（2025·宁夏·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 求函数的最值（不含参）
典例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
典例2.（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
跟踪训练1．（2025·河南驻马店·模拟）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·北京·模拟）已知函数，则（ ）
A．函数没有零点
B．函数有最小值
C．在上单调递增
D．存在，对任意，有
考点四 求函数的最值（含参）
典例1．（2025·福建·模拟）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点
B．设，为的极值点，则
C．当时，若在上有最大值，则
D．若，则
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数.
(1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：）
【方法技巧】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
跟踪训练1．（2025·四川成都·三模）若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
跟踪训练2．（2025·湖南岳阳·模拟）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
考点五 根据最值求参数
典例1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 .
典例2．（2025·上海·模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 .
【方法技巧】
1.求函数f(x) 在[a,b] 上最值的方法
（1）若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或单调递减）,则f(a)为最小值（或最大值），f(b)为最大值（或最小值）.
（2）若函数f(x)在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
（3）若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
跟踪训练1．（2025·湖北十堰·模拟）若函数在定义域上的最大值为，则当ab取得最小值时，实数 .
跟踪训练2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（ ）
A．B．C．或D．
考点六 函数单调性、极值、最值的综合应用
典例1．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且，求的取值范围．
【方法技巧】
1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.
2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.
3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.
4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.
跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟）（多选题）函数有两个零点，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟）已知函数（，且）.
(1)当时，证明：.
(2)若不等式恒成立，求a的值.
\l "_Tc168491940" 考点七：不等式恒成立与存在性问题
典例1．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．（2025·湖北武汉·模拟）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题.
2.a≥f(x)恒成立转化为a≥f(x)max;
a≤f(x)恒成立转化为a≤f(x)min;
a≥f(x)能成立转化为a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立转化为a≤f(x)max.
跟踪训练1．（2025·重庆沙坪坝·模拟）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
2．（2025·广西·模拟）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2025·浙江·模拟）已知函数，则（ ）
A．函数的极大值点为
B．函数的极小值为2
C．过点作曲线的切线有两条
D．直线是曲线的一条切线
4．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河南驻马店·模拟）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则 .
10．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 .
1．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏连云港·模拟）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·重庆·三模）（多选题）已知，则（ ）
A．，使得是增函数B．，函数均存在极值点
C．，函数只有一个零点D．，且，有
4．（2025·江苏·一模）（多选题）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有三个零点
C．
D．若在区间上有最大值，则的取值范围为
5．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 .
6．(2025· 八省联考)已知函数f(x)=aln x+bx−x.
（1） 设a=1，b=−2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
（2） 若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围.
7．（2025·广东广州·模拟）已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为．
(1)求a的值；
(2)求的最小值；
(3)设，若对恒成立，求b的最大值．
8．（2025·湖北黄冈·模拟）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
10．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程.
(2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围.
1.（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则
A．
B．当时，
C．，当且仅当
D．是的极大值点
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
6．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
7.（2025年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（1）设函数．求在，的最大值；
（2）给定，为给定实数，证明：存在，，使得；
（3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值．
8．（2025年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，其中．
（1）证明：在存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设，为在的极值点和零点，
设，证明：在单调递减；
比较与的大小，并证明你的结论．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的极值
（2）函数的最值
2025年II卷第18题，17分
2025年II卷第10题，6分
2025年I卷第19题，17分
2024年I卷第10题，6分
2024年II卷第16题，15分
2024年II卷第11题，6分
2024年甲卷第21题，12分
2023年乙卷第21题，12分
2023年II卷第22题，12分
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
高考对极值、最值的考查较为稳定，是重点考查的部分。在本节内容中，无论高考题目如何变化，只要我们抓住导数作为研究函数的重要工具这一关键，借助图像把函数的单调性、极值、最值等核心问题直观清晰地呈现出来，剩下的便是具体问题的转化了。最终的焦点必然是函数的单调性与最值，因为它们始终是导数的核心。
条件
f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极① 值
f(x0)为极② 值
极值点
x0为极③ 值点
x0为极④ 值点