2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第二章2.6指数运算与对数运算(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第二章2.6指数运算与对数运算(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了6　指数运算与对数运算，根式的概念及性质，有理指数幂的运算性质，对数的概念，对数的性质、运算性质与换底公式，5λ×60＝25λ×15,，331,等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
【名师点拨】换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,（－4）4)＝－4.( )
(2)分数指数幂aeq \f(m,n)可以理解为eq \f(m,n)个a相乘.( )
(3)lg2x2＝2lg2x.( )
(4)若MN＞0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)由于eq \r(4,（－4）4)＝eq \r(4,44)＝4，故(1)错误.
(2)当eq \f(m,n)0且a≠1),则lga25等于( )
A.254B.2C.15D.5
【答案】C
【解析】由a25＝425,得lga425＝25,
∴lga252＝25,∴2lga25＝25,
∴lga25＝15.
4.2723＋4lg43－lg 5－lg 2＝ .
【答案】11
【解析】2723＋4lg43－lg 5－lg 2＝(33)23＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11.
【名师点拨】
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)ba−p＝abp(ab>0)；
(2)a＝(a1m)m,anm＝(a1m)n(式子有意义)；
(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝a−12a12(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如(a12＋b12)(a12－b12)＝a－b(a,b>0),
(a12±b12)2＝a±2a12b12＋b(a,b>0),
(a13＋b13)(a23∓a13b13＋b23)＝a±b(a,b>0).
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
【必练核心题型】
题型一 指数运算
例1.(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a46＝3a2
B.4a4＝a
C.(62)2＝36
D.a−23＝－3a2
【答案】ABC
【解析】对于A,a46＝a23＝3a2,故A正确；
对于B,4a4＝|a|＝a,故B正确；
对于C,(62)2＝62×2＝62＝36,故C正确；
对于D,a−23＝1a23＝13a2,故D错误.
例2.(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )
＋(5π)0－2－1＝0
B.278−23－4990.5＋(0.008)−23×125＋(π－1)0＝19
C.(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36a·6b5)＝1
D.若x12＋x−12＝6,则x＋x−1x2＋x−2−2＝13
【答案】BD
【解析】对于A,0.2512＋(5π)0－2－1＝0.5＋1－12＝1,A错误；
对于B,278−23－4990.5＋(0.008)−23×125＋(π－1)0＝32−2－73＋15−2×125＋1＝49－73＋25×125＋1＝49－73＋2＝19,B正确；
对于C,原式＝(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)＝[2×(－6)÷(－3)] a23＋12−16·b12＋13−56＝4ab0＝4a,C错误；
对于D,当x12＋x−12＝6时,(x12＋x−12)2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由(x＋x−1)2＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋x－2＝14,所以x＋x−1x2＋x−2−2＝414−2＝13,D正确.
【解题技巧】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练】
变式1.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)14−12·(4ab−1)3(0.1)−1·(a3·b−3)12；
(2)0.125−13－980＋[(−2)2]12＋(2×33)6.
【解析】(1)14−12·(4ab−1)3(0.1)−1·(a3·b−3)12
＝412·(4ab−1)3210a32b−32＝2·8a32b−3210a32b−32＝85.
(2)0.125−13－980＋[(−2)2]12＋(2×33)6
＝123−13－1＋2＋212×6×313×6
＝2＋1＋8×9＝75.
题型二 对数运算
例1.(多选)下列运算中正确的是( )
A.lg37lg35＝lg75
B.827−13＝32
C.x＝ln ex
D.12−lg26＋ln(ln e)＝6
【答案】BCD
【解析】对于A,lg37lg35＝lg57,故A错误；
对于B,827−13＝323×13＝32,故B正确；
对于C,x＝ln ex,故C正确；
对于D,12−lg26＋ln(ln e)＝2lg26＋ln 1＝6＋0＝6,故D正确.
例2.(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是( )
A.lg2＋lg5−lg8lg50−lg40＝1
B.lg4＋lg5−12lg0.5＋lg8＝2
C.lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝0
D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
【答案】AC
【解析】lg2＋lg5−lg8lg50−lg40＝lg 108lg 5040＝1,A成立；
lg4＋lg5−12lg0.5＋lg8＝lg20−1lg0.25＋lg8＝1＋lg2−1lg2＝1,B不成立；
lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D不成立.
【解题技巧】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【变式训练】
变式1.(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是( )
A.lgab·lgca＝lgcb
B.lgab·lgcb＝lgca
C.lga(b＋c)＝lgab＝lgac
D.lga(bc)＝lgab·lgac
【答案】BCD
【解析】对于A,lgab·lgca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝lgcb,故A正确；
对于B,lgab·lgcb＝lgblga·lgblgc,而lgca＝lgalgc,故B错误；
对于C,若lga(b＋c)＝lgab＝lgac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故C错误；
对于D,lga(bc)＝lgab＋lgac,故D错误.
变式2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
【答案】e
【解析】f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2=aln 23=8,
∴aln 2=2,∴a=e.
题型三 指对运算的应用
例1.(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Lgistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Lgistic模型：P(x)＝e−0.97＋0.127x1＋e−0.97＋0.127x,其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)( )
【答案】C
【解析】由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝e−0.97＋1.271＋e−0.97＋1.27＝e0.31＋e0.3≈≈0.57.
例2.(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
【答案】D
【解析】由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,
所以257.5λ＝103λ＝6015＝4,
两边取以10为底的对数,得λlg 103＝2lg 2,
所以λ＝2lg21−lg3≈2×0.3011−0.477≈1.15.
【解题技巧】
利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数的值,然后解决问题.
【变式训练】
变式1.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231是( )
A.9位数B.10位数
C.11位数D.12位数
【答案】B
【解析】记231＝M,
则31×lg 2＝lg M,
则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331,
则M≈109.331∈(109,1010),
故231是10位数.
变式2.区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒D.4.5×107秒
【答案】A
【解析】由题意知所需时间t＝22562.5×1011(秒),
∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11)
＝256lg 2－lg 104＋11＝258lg 2－12≈65.658,
∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
指数运算与对数运算及指对互化
2024·全国甲卷
2023·北京卷
2022·天津卷
2022·浙江卷
2022·全国乙卷
2021·天津卷
理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质。理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，都是高考命题的方向。