第二章　§2.7　指数运算与对数运算-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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§2.7　指数运算与对数运算课标要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.1.根式(1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(3)(na)n=　　　. 当n为奇数时，nan=　　　， 当n为偶数时，nan=|a|=a，a≥0，-a，a0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：a-mn=　　　　　=1nam(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于　　　，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质aras=　　　　　；(ar)s=　　　　　；(ab)r=　　　　　(a>0，b>0，r，s∈R). 4.对数的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=　　　　　　　　，其中　　　　叫做对数的底数，　　　叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作　　　　. 以e为底的对数叫做自然对数，记作　　　　. 5.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1=　　　　，logaa=　　　　，alogaN=　　　　(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)=　　　　； ②logaMN=　　　　； ③logaMn=　　　　(n∈R). (3)对数换底公式：logab=logcblogca(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(-4)4=-4.(　　)(2)若M=N，则logaM=logaN.(　　)(3)2a·2b=2ab.(　　)(4)lg 2+lg 5=1.(　　)2.(多选)下列运算正确的有(　　)A.lg 2+lg 3=lg 5B.log3100=10log310C.4log45=5D.log34·log43=13.若a25=425(a>0且a≠1)，则loga25等于(　　)A.254 B.2 C.15 D.54.2723+4log43-lg 5-lg 2=　　　　　. 1.灵活应用化简指数幂常用的技巧(1)ba-p=abp(ab>0)；(2)a=(a1m)m，anm=(a1m)n(式子有意义)；(3)1的代换，如1=a-1a(a>0)，1=a-12a12(a>0)等；(4)乘法公式的常见变形，如(a12+b12)(a12-b12)=a-b(a，b>0)，(a12±b12)2=a±2a12b12+b(a，b>0)，(a13+b13)(a23∓a13b13+b23)=a±b(a，b>0).2.谨防两个失误点(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.题型一　指数运算例1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　)A.a46=3a2B.4a4=aC.(62)2=36D.a-23=-3a2(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　)A.0.2512+(5π)0-2-1=0B.278-23-4990.5+(0.008)-23×125+(π-1)0=19C.(23a2·b)(-6a·3b)÷(-36a·6b5)=1D.若x12+x-12=6，则x+x-1x2+x-2-2=13思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练1　计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)14-12·(4ab-1)3(0.1)-1·(a3·b-3)12；(2)0.125-13-980+[(-2)2]12+(2×33)6.题型二　对数运算例2　(1)(多选)下列运算中正确的是(　　)A.log37log35=log75B.827-13=32C.x=ln exD.12-log26+ln(ln e)=6(2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　)A.lg2+lg5-lg8lg50-lg40=1B.lg4+lg5-12lg0.5+lg8=2C.lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18=0D.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=2思维升华　解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练2　(1)(多选)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是(　　)A.logab·logca=logcbB.logab·logcb=logcaC.loga(b+c)=logab=logacD.loga(bc)=logab·logac(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　　　　. 题型三　指对运算的应用例3　(1)(2024·重庆模拟)在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)=e-0.97+0.127x1+e-0.97+0.127x，其中x是客户年收入(单位：万元)，P(x)是按时还款概率的预测值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)(　　)A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15思维升华　利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.跟踪训练3　(1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699，则231是(　　)A.9位数 B.10位数C.11位数 D.12位数(2)(2024·恩施模拟)区块链作为一种革新技术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.658≈4.5)(　　)A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒答案精析落实主干知识1.(3)a　a2.nam　1amn　03.ar+s　ars　arbr4.logaN　a　N　lg N　ln N5.(1)0　1　N　(2)①logaM+logaN　②logaM-logaN　③nlogaM自主诊断1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.CD　3.C　4.11探究核心题型例1　(1)ABC　[对于A，a46=a23=3a2，故A正确；对于B，4a4=|a|=a，故B正确；对于C，(62)2=62×2=62=36，故C正确；对于D，a-23=1a23=13a2，故D错误.](2)BD　[对于A，0.2512+(5π)0-2-1=0.5+1-12=1，A错误；对于B，278-23-4990.5+(0.008)-23×125+(π-1)0=32-2-73+15-2×125+1=49-73+25×125+1=49-73+2=19，B正确；对于C，原式=(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=[2×(-6)÷(-3)]·a23+12-16·b12+13-56=4ab0=4a，C错误；对于D，当x12+x-12=6时，(x12+x-12)2=x+2+x-1=6，得x+x-1=4，由(x+x-1)2=x2+2+x-2=16，得x2+x-2=14，所以x+x-1x2+x-2-2=414-2=13，D正确.]跟踪训练1　解　(1)14-12·(4ab-1)3(0.1)-1·(a3·b-3)12=412·(4ab-1)3210a32b-32=2·8a32b-3210a32b-32=85.(2)0.125-13-980+[(-2)2]12+(2×33)6=123-13-1+2+212×6×313×6=2+1+8×9=75.例2　(1)BCD　[对于A，log37log35=log57，故A错误；对于B，827-13=323×13=32，故B正确；对于C，x=ln ex，故C正确；对于D，12-log26+ln(ln e)=2log26+ln 1=6+0=6，故D正确.](2)AC　[lg2+lg5-lg8lg50-lg40=lg 108lg 5040=1，A成立；lg4+lg5-12lg0.5+lg8=lg20-1lg0.25+lg8=1+lg2-1lg2=1，B不成立；lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0，C成立；(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1，D不成立.]跟踪训练2　(1)BCD　[对于A，logab·logca=lgblga·lgalgc=lgblgc=logcb，故A正确；对于B，logab·logcb=lgblga·lgblgc，而logca=lgalgc，故B错误；对于C，若loga(b+c)=logab=logac，则b+c=b=c，故b=c=0，显然不符合要求，故C错误；对于D，loga(bc)=logab+logac，故D错误.](2)e解析　f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4=a3ln 2=aln 23=8,∴aln 2=2,∴a=e.例3　(1)C　[由题意得ln 1.35≈0.3，所以e0.3≈1.35，所以P(10)=e-0.97+1.271+e-0.97+1.27=e0.31+e0.3≈1.352.35≈0.57.](2)D　[由题意知C=7.5λ×60=25λ×15，所以257.5λ=103λ=6015=4，两边取以10为底的对数，得λlg 103=2lg 2，所以λ=2lg21-lg3≈2×0.3011-0.477≈1.15.]跟踪训练3　(1)B　[记231=M，则31×lg 2=lg M，则lg M=31×(1-lg 5)≈9.331，则M≈109.331∈(109，1010)，故231是10位数.](2)A　[由题意知所需时间t=22562.5×1011(秒)，∴lg t=256lg 2-(lg 2.5+11)=256lg 2-lg 104+11=258lg 2-12≈65.658，∴t≈1065.658=100.658×1065≈4.5×1065(秒).]