第七章 7.4基本不等式及应用-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　　)

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)

(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　　)

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　)

2、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80  B．77  C．81  D．82

3、已知x>0，a>0，当y＝x＋取最小值时，x的值为(　　)

A．1  B．a  C.  D．2

4、若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.≤   B.＋≤1

C.≥2   D．a2＋b2≥8

5、若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________．

无

题型一　利用基本不等式求最值

命题点1　通过配凑法利用基本不等式

例1　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

(3)函数y＝(x>1)的最小值为________．

命题点2　通过常数代换法利用基本不等式

例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

引申探究

1．若条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．

2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．

3．若将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．

【同步练习】

(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.

题型二　基本不等式的实际应用

例3　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．

【同步练习】

1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)＋≥2(a，b同号)．

(3)ab≤2 (a，b∈R)．

(4)≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；

不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.

题型三　基本不等式的综合应用

命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例4　(1)正实数x，y满足：＋＝1，则x2＋y2－10xy的最小值为_____．

(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

命题点2　求参数值或取值范围

例5　(1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9  B．12  C．18  D．24

(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．

【同步练习】

(1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.  B.  C．1  D．2

(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

题型五 利用基本不等式求最值

例6 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(6)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2   B.＋≥2

C．|＋|≥2   D．a2＋b2>2ab

2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)

A．2  B．2  C．4  D．2

4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋   B．1＋

C．3   D．4

5．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　)

A.  B．2  C.  D．2

*6.设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　)

A．2  B．4  C．2  D．5

*7.若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)

A．1  B．6  C．9  D．16

8．对任意的θ∈(0，)，不等式＋≥|2x－1|成立，则实数x的取值范围是(　　)

A．[－3,4]   B．[0,2]

C．[－，]   D．[－4,5]

9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．

10．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的取值范围是________．

*11.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．

12．若正数x，y，z满足3x＋4y＋5z＝6，则＋的最小值为________．

13．某项研究表明：在考虑行车安全情况下，某路段车流量F(单位时间经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车辆速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式F＝.

(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．