第1讲 集合 综合【测】试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第1讲 集合 综合【测】试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共9页。试卷主要包含了 完成试卷后务必检查， 适用地区等内容，欢迎下载使用。
1. 本卷为综合测试卷，建议用时120分钟，满分150分. 答题前请先通览全卷，合理分配时间.
2. 答题时注意审清题意，挖掘隐含条件，避免因审题不清导致失分. 遇到卡壳的题目先跳过，完成会做的题目后再回头思考.
3. 完成试卷后务必检查：选择题是否漏选、错位，填空题答案是否化简到最简形式，解答题关键步骤是否完整.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2026·泰山教育·4月模拟）集合的真子集的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3.（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
5.（2025·河北·联考）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6.（2026·强基联盟·3月联考）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ）
A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位
7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集，，，，，那么为（ ）
A. B. C. D.
8.（2026·湖北·5月模拟）已知集合，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若集合，则
B. 若集合，则
C. 若集合，则
D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值
不等于3，也不等于8，若的最大值为, 的最大值为，则
10.（2025·广东六校·5月联考）设有有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ）
A. 集合不是“可拆等和集”
B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等
和集”
D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2024·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为＿＿＿＿＿＿.
13. 2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人. 其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿.
14.（2024·湖北·二模）已知为包含个元素的集合．设为由的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东·5月联考）对于集合 ,定义 ,若 ,则称为理想集.例如,不是理想集,而是理想集.
（1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由;
① ;② ;③ .
（2）若存在个非空理想集 ,且,使得,则称是可分的,记.
（i）证明:;
（ii）证明:.
16.（15分）（2026·山东济南·二模）给定正整数,集合满足对于任意,都存在,使得.
（1）若,且,求;
（2）证明:对于任意,都有;
（3）若,且,求集合中所有元素的和.(用含有的式子表示)
17.（15分）（2025·燕博园·3月联考）已知，.设集合，集合.若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
（1）当，时，直接写出的“相邻元”；
（2）当，时，求证：是“好数”；
（3）当时，若整数满足，且，，求证：是“好数”.
18.（17分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.
（1）判断集合，是否构成一个戴德金分割，并说明理由；
（2）在一个戴德金分割中，能否出现“有一个最大元素，有一个最小元素”的情况？请说明理由；
（3）请分别举出一个戴德金分割的具体例子，使得：①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素.
19.（17分）对于集合，定义．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列.
（1）写出集合中的元素组成的集合（用描述法表示）；
（2）求与的值.